La démonstration par récurence est à mons avis plus efficace que la démonstration avec la formule du binôme du Newton.
Elle est abordable pour toi Geek-R avec un niveau de 1ère S. Le principe de récurence n'est pas très compliqué.
La voilà:
On appelle (Pn) la propriété: La fonction qui à x associe
, n entier naturel supérieur strictement à 1, est dérivable sur
et sa dérivée est la fonction qui à x associe
)
, n entier naturel strictement supérieur à 1 et x réel.
On vérifie que la propriété (P2) est vraie.
La fonction qui à x associe x² est dérivable sur
et sa dérivée est 2x, x réel. Donc (P2) est vraie.
On suppose maintenant que (Pn) est vraie pour une certains rang n, n entier naturel supérieur strictement à 1, et on montre que si (Pn) est vraie pour ce certains rang n, alors (Pn+1) est vraie.
Soit
=x^(n+1)=x.x^n)
Les fonctions qui à x associent respectivement x et x^n sont dérivables sur
donc f est dérivable sur
.
=x^n+x.nx^(n-1)=x^n+nx^n=x^n.(n+1))
Donc (Pn+1) vraie si (Pn) vraie.
Conclusion: (P2) est vraie et si (Pn) est vraie alors (Pn+1) est vraie. Donc (Pn) est vraie pour tout entier naturel n strictement supérieur à 1.
