Mathématiques - formes quadratiques

formes quadratiques
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Posted by: sandrine_guillerme

Bonjour,
je vous propose l'exercice suivant, je ne sais pas faire

Soient E un K ev $\theta$ $\theta_1$ $\theta_2$ $\in$ E* trois formes linéaires non nulles.

1/ Montrer que l'application q:x-> $(\theta(x))^2$ est une forme quadratique sur E, Déterminer la forme bilinéaire associée Déterminer l'ensemble des vecteurs isotropes et le noyau de q .

Merci beaucou pour vos réponses !!

Posted by: tize

Bonsoir,
on montre que q est une forme quadratique en déterminant la forme bilineaire associée, ici $b(x,y)=\theta(x).\theta(y)$ doit convenir...

Posted by: sandrine_guillerme

Merci José !
t'es sur qu'on pourrais faire ça parceque la question après justement c'est de déterminer la forme bilinéaire associée ..

Posted by: sandrine_guillerme

Personne pour m'aider .. ?

Posted by: yos

Tu dois avoir une définition d'une forme quadratique :
$(x,y)\mapsto q(x+y)-q(x)-q(y)$ est bilinéaire symétrique et q(kx)=k²q(x).

Posted by: sandrine_guillerme

Merci d'avoir répondu !
Oui je crois que je vais y arriver comme ça .. maieuh comment tu fais pour isotrope alors?

Posted by: jose_latino

Bonsoir, pour obtenir la forme quadratique, tu peux utiliser la formule de polarisation:
$B(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))$
Cette formule te donne l'unique forme bilinéaire symmétrique B tel que $B(x,x)=q(x)$ , c'est juste celle-ci qui t'a proposé José.

Posted by: jose_latino

Pour obtenir le vecteurs isotropes c'est n'est pas difficile à voir que $\theta(x)=0$ si et seulement si $\theta(x)^2=0$

Posted by: sandrine_guillerme

Oué c'est cool Merci ..

Et comment faire ensuite pour les isotropes ?

Posted by: sandrine_guillerme

Je veux dire c'est quoi ces vecteurs si je veux les donner !

Posted by: fahr451

le noyau de théta donc un hyperplan

Posted by: sandrine_guillerme

Oui mais pourquoi ???

Posted by: sandrine_guillerme

Je veux dire tout ce que j'ai appris en cours c'est que la dimension d'un hyper plan c'est n-1

Posted by: fahr451

un hyperplan H est le noyau d une forme linéaire non nulle ( déf générale)

si E est de dim finie n ça équivaut à dire que H est de dim n-1

Posted by: sandrine_guillerme

Re merci !

C'est gentil !