Mathématiques - Forme quadratique

Forme quadratique
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: juju78

Bonjour,

il y a quelque chose que je ne comprends pas concernant la signature d'une forme quadratique, et mon cours n'est pas très clair.

quand on a :

q=(1,0) > definie positive
q=(0,1) > definie négative
q=(2,1) > definie positive
q=(1,2)> definie négative
q=(1,1) > point selle , pas definie

C'est ca ou pas du tout ?

Posted by: Antho07

Une forme quadratique est definie si q(x)=0 <=> x=0.
Une forme quadratique est positive si pour tout x $q(x) \geq 0$
negative si pour tout x , $q(x) \leq 0$

En gros, on prend une base orthogonale et on regarde la matrice de q dans cette base qui est diagonale
La signature (s,t)
s correspond au nombre de coefficient strictement positif
t correspond au nombre de coefficient strictement negatif

q est definie si s+t=n la dimension de l'espace
q est positive si t=0
q est negative si s=0.

Donc finalement
q est definie positive si la signature est (n,0)
q est definie negative si la signature est (0,n)

Posted by: juju78

Ok merci,

donc quand on a (2,1) par exemple on ne peut pas conclure ?

Posted by: Antho07

Citation:

Posté par juju78

Ok merci,

donc quand on a (2,1) par exemple on ne peut pas conclure ?

deja c ni positif, ni negatif.
Apres c quoi la dimension de ton espace???

Posted by: juju78

$x_1^2 - (x_2x_3)^2 -x_3^2$

la signature est (1,2) donc on ne peut conclure ?

edit : pq le message de MacManus est effacé?

Posted by: Antho07

Citation:

Posté par juju78

$x_1^2 - (x_2x_3)^2 -x_3^2$

la signature est (1,2) donc on ne peut conclure ?

edit : pq le message de MacManus est effacé?

Aucune idee pour le message de MacManus.
En revanche ici on est dans un espace de dimension 3.
la signature est (1,2) (jai pas verifie cela) donc ta forme quadratique est definie (mais elle est ni postitive, ni negative)

Posted by: MacManus

J'ai supprimé moi-même mon message pour ne pas perturber les explications d'Antho07, qui était déja sur sa lancée.

Posted by: juju78

Ok merci :D

Et une derniere question:

On a la forme quadratique suivante:

$q(x,y)= -\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{2}xy -\frac{3}{4}y^2$

On me demande la signature de q

pour cela je dois réduire q non ?

On a donc :

$\frac{-3}{4}.x^2 - \frac{1}{2}xy - \frac{3}{4}.y^2$

soit

$\frac{-3}{4}(x^2 + \frac{2}{3}.xy) - \frac{3}{4}.y^2$

$\frac{-3}{4}(x^2 + 2.x.\frac{1}{3}) - \frac{3}{4}.y^2$

$\frac{-3}{4}(x+\frac{1}{3}.y)^2 - \frac{1}{9}y^2 - \frac{3}{4}.y^2$

soit

$\frac{-3}{4}(x+\frac{1}{3}.y)^2 - \frac{31}{36}y^2$
mais ça me semble bizard

Posted by: juju78

svp ?

Posted by: fatal_error

Salut,

dernière ligne :
$\frac{-3}{4}(x+\frac{1}{3}.y)^2 - \frac{31}{36}y^2$
Quand tu developpes le y, faut ajouter 3/36
Donc tu obtiens sauf erreur $\frac{-3}{4}+\frac{3}{36})y^2=\frac{-2}{3}$

La signature est donc (0,2)
Si tu es pas sûr, tu peux aussi diagonaliser, sur une matrice 2,2 ca reste pas trop fatiguant.

Je trouve $\lambda_1=-1$ et $\lambda_2=\frac{-1}{2}$

ya aussi une autre astuce :
Tu peux regarder la trace et le déterminant.
Si det(A)>0 et tr(A)>0 => deux valeurs propres positives =>(2,0)
Si det(A)>0 et tr(A)<0 =>deux valeurs propres négatives =>(0,2)

La $det(A)=\frac{1}{2}$ et $tr(A)=\frac{-3}{2} =>(0,2)$