Mathématiques - Forme quadratique, Gauss

Forme quadratique, Gauss
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Posted by: fatal_error

Bonjour,

petite question :
Soit $q(x)=2xy$
Alors $q(x)=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{2}$
Soit $Q(x)=2(xy+yz+zx)$

Comment faire pour réduire Q sous formes de carré?

Posted by: Nightmare

Salut

Bah tu réduis chaque terme comme pour q !

Posted by: fatal_error

Ben, pour q, j'ai remarqué "l'identité du parallèlogramme".

Mais je ne vois pas comment faire pour trois variables.
Enfin, si jamais j'essaye par exemple d'obtenir des carrés,
$Q(x,y,z)=(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2$

Le problème vient que j'ai 4 carré, donc yen a un qu'on pourrait forcément se passer mais je ne sais pas s'il y a une méthode, et l'intuition chez moi, c'est pas la gloire !

Posted by: Nightmare

Et si tu écris par exemple :

$3$\rm xy+yz+zx=(x+y)(z+x)-x^{2}$

On a donc :
$3$\rm 2(xy+yz+zx)=2(x+y)(z+x)-2x^{2}$
et d'après le résultat précédent :
$3$\rm 2(x+y)(z+x)-2x^{2}=\frac{(2x+y+z)^{2}-(y-z)^{2}}{2}-2x^{2}$

Posted by: sandrine_guillerme

Salut fatal_error,
salut Nightmare,

pour fatal_error je te donne comment on fait :

par exemple :

q(x,y,z) = xy + yz +xz

on choisit un monome, ici par exemple, xy et on ecrit tous les monomes avec x et y

$q(x,y,z) = (x+z)(y+z) -z^2$

Astuce à connaître :
$(x + z)(y + z) = ( \frac{x + z + y + z}{2} ) ^2 - ( \frac{y + z- x- z}{2} ) ^2$
(ça vient de l'identite remarquable a²-b²)

tu réinjecte :
et t'obtiens :
$\rm q(x , y, z) = (x + z)(y + z) = ( \frac{x + z + y + z}{2} ) ^2 - ( \frac{ y + z - x - z}{2} ) ^2 -z^2$

++

Posted by: fatal_error

Oki, j'ai bien compris.
Merci beaucoup à vous deux! :-)

Posted by: mathelot

bjr à tous,

j'en profrite (bienvenue chez les cht'i) pour poser une petite question, n'ayant pas tout compris aux formes quadratiques:

cette décomposition dûe à Gauss permet d'écrire la forme quadratique
comme somme de carrés de formes linéaires indépendantes.
On obtient donc la signature. A ces formes $f_i$ correspond une
base $e_j$ de l'espace vectoriel telle que
$f_i(e_j)=\delta_{i,j}$ . C'est sa base duale.

mais si cette forme est liée à un produit scalaire, qu'on veut obtenir
une base orthonormée, l'idée naturelle (c'est à dire quand on a tout oublié) est de considérer la base duale des formes linéaires qu'on a trouvées avec la décomposition en somme de carrés.

manque de bol, la base duale n'est pratiquement jamais orthogonale.
c'est comme ça que je me suis retrouvé avec des équations d'ellipse
réduites à leur forme canonique, dans des repères du plan obliques.

Comment faire, il faut diagonaliser la matrice associée à la forme bilinéaire ?
Est ce qu'il y a un rapport avec la décomposition de Gauss ?

autre question:

si l'on récupère une équation
$\displaystyle \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3} = 1$ dans un repère oblique $\vec{i},\vec{i}+\vec{j}$
est-ce que c'est considéré comme une ellipse ?

Posted by: Antho07

La méthode de Gauss permet d'obtenir une base orthogonale pour ta forme quadratique.

Lorsque qu on fait la methode de gauss on obtient

$q(X)=a_{1} L_{1}^{2}(x) +\ldots +a_{n}L_{n}^{2}(x)$

ou les L1...Ln sont independants.

La base orthogonale est donnee par l'anteduale de de ces L1....Ln.
Commen trouver l'anteduale?
En inversant le systeme et en prenant la tranposee.

Ensuite si q est vient d 'un produit scalaire les a1...an sont tous positifs non nuls, on peut donc normer la base.
Comment faire??

Notons $(f_{1},\ldots,f_{n})$ la base orthogonale trouvée, b la forme polaire de q.

et Posons $f'_{i}=\frac{1}{\sqrt{q(f_{i})}}$

La base $(f'_{1},\ldots,f'_{n})$ est normée et orthogonale d'ou le resultat.
La matrice de q dans cette base est la matrice In

Posted by: Antho07

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

$\rm q(x , y, z) = (x + z)(y + z) = ( \frac{x + z + y + z}{2} ) ^2 - ( \frac{ y + z - x - z}{2} ) ^2 -z^2$

++

A partir de la il faut trouver l'anteduale.
Je reecris cela:

$q(x,y,z)=\frac{1}{4} (x+y+2z)^{2}-\frac{1}{4}(y-x)^{2}-z^{2}$

Bon ici, q ne provient pas d'un produit scalaire, il y a deux ai negatif, on pourra pas normer.

Recherchons l'anteduale, ecrivons

$L_{1}=e_{1}^{*}+e_{2}^{*}+2e_{3}^{*}$
$L_{2}=e_{2}^{*}-e_{1}^{*}$
$L_{3}=e_{3}^{*}$

On inverse on obtient

$e_{1}^{*}=\frac{1}{2}L_{1} - \frac{1}{2}L_{2} -L_{3}$
$e_{2}^{*}=\frac{1}{2}L_{1}+\frac{1}{2}L_{2}-L_{3}$
$e_{3}^{*}= L_{3}$

on transpose on obtient

$f_{1}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$
$f_{2}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$
$f_{3}=(-1,-1,1)$

voila pour trouver l'anteduale.
calcule L1(f1), L2(f2) L3(f3)
L1(f2)... pour verifier

Posted by: mathelot

Merçi Antho07,

Dans ton exemple ,l'antéduale n'est pas une base orthogonale,

car $<f_1,f_3> \neq 0$ .

ce que j'avais déja constaté sur d'autres exemples.

là, on se retrouverait avec une équation de quadrique dans un repère oblique.

Posted by: Antho07

Citation:

Posté par mathelot

Merçi Antho07,

Dans ton exemple ,l'antéduale n'est pas une base orthogonale,

car $<f_1,f_3> \neq 0$ .

ce que j'avais déja constaté sur d'autres exemples.

là, on se retrouverait avec une équation de quadrique dans un repère oblique.

Mais on obtient une base orthogonale pour q pas pour le produit scalaire.

Cependant sur un espace euclidien il doit exister une base a la fois orthogonale pour q et orthonormale pour <,>.
Cela doit revenir a chercher les vecteurs propres de la matrice
$ \begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0 \\ \end{pmatrix} $

pour le q de l'exemple

le Polynome caracteristique est
$P(X)=-(X+\frac{1}{2})^{2}(X-1)$

un vecteur propre associee à -1/2 est (0,1,-1).
un autre associee orthogonale et libre est (2,-1,-1).
un vecteur propre associee a 1 est ( 1,1 ,1)

verifions si la base { (0,1,-1), (2,-1,-1),(1,1,1)}convient

apperement ils sont orthogale pour <,>

ici , q(x,y,z)=xy+xz+yz

donc $b((x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}))=\frac{1 }{2}x_{1}y_{2}+\frac{1}{2}x_{2}y_{1}+\frac{1}{2}y_ {1}z_{2}+\frac{1}{2}y_{2}z_{1}+\frac{1}{2}x_{1}z_{ 2}+\frac{1}{2}x_{2}z_{2}$

est sa forme polaire.

La base trouvée marche bien.
Le pourquoi du comment cela marche vient du fait que les espaces propres d'une endomorphisme autoadjoint sont orthogonales deux a deux.

Si B est une base orthonormee pour <,>.
En notant M=Mat(b,B) (b la forme polaire de q)
alors l'endomorphisme f de E tels que Mat(f,B)=M (on regarde la matrice comme celle d'un endomorphisme).

alors f verifie pour tout x, y <x,f(y)>=b(x,y).
De plus c le seule f qui verifie cela.

Ensuite f est autoadjoint pour <,>
cela veut dire que <f(x),y>=<x,f(y)>.

Par un thoereme spectrale (plus sur du nom...bref) les espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux pour <,>
Mais en faite ils sont aussi orthogonaux pour q ( ie pour b).

en effet, si V et V' sont associe a L et L' deux valeurs propres differentes.
b(V,V')=<V,f(V')>=<V,LV'>=L<V,V'>=0 car <V,V'>=0.

Ainsi une union de base orthoganale (pour <,>) de chaque espace propres formera une base orthogonales de E pour <,> et pour q.
On peut de plus normee la base pour <,>

En esperant avoir ete utile