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Vieux 09/11/2010, 18h36
businessmanfr
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Par défaut Forme explicite d'une suite

Donner la forme explicite de la suite (Un) définie par

Uo = 1 , U1 = -1 et Un+2 ( Un+ petit 2) = 6Un+1 - 9Un (6Un+petit 1) pour tout n appartient à N.


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Vieux 09/11/2010, 18h39
Rebelle_
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B'soir =)

Je connais une méthode mais je ne suis pas sûre qu'elle soit très acceptable au niveau lycée... Ne te serais-tu pas trompé de forum ? :P

Y a-t-il d'autres données ?

:)
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Vieux 09/11/2010, 18h41
businessmanfr
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C'est l'énoncé en entier.
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Vieux 09/11/2010, 18h43
Rebelle_
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A-t-on bien :

\left\{<br />
\begin{array}<br />
u_0 = 1 \\<br />
u_1 = -1 \\<br />
u_{n+2} = 6 u_{n+1} - 9 u_n<br />
\end{array}<br />
\right

?

Si oui à part te faire passer par des étapes je ne vois pas vraiment comment donner une expression de la forme "u_n =" sans passer par l'équation caractéristique.

Quelqu'un d'autre a-t-il une idée ?
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Vieux 09/11/2010, 18h44
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Non l'énoncé n'est pas présenté ainsi.
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Vieux 09/11/2010, 18h45
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Ah, comment ça ?
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Vieux 09/11/2010, 18h45
Ben314
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Salut,
Un truc parfaitement "acceptble" niveau Lycée, c'est que, vu qu'à priori on voit pas comment ça marche, on remonte ces manches et on calcule U0, U1, U2, U3, U4, U5,... jusqu'à ce qu'on commence à avoir une forte intuition (on dit une "conjecture").
On démontre ensuite que c'est bien ça par réccurence.

P.S. Bien sûr, ça marche pas tout le temps, des fois on va jusqu'à U10 et... on voit toujours que dalle.
Mais, ici, je pense que ça marche...
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Vieux 09/11/2010, 18h47
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Mais je dois d'abord savoir si elle est arithmétique ou géométrique ?

Pour un+1 - un = 0 et un+1/un = -1

Il y a un problème non ?
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Vieux 09/11/2010, 18h49
Rebelle_
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Les suites artithmétiques et géométriques sont des cas particuliers de ces suites dites "récurrentes linéaires d'ordre...".

:)

PS : j'enlève la dénomination "suite arithmético-géométrique d'ordre 2" qui semble ne pas être appropriée.

Dernière modification par Rebelle_ 09/11/2010 à 18h55.
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Vieux 09/11/2010, 18h51
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Je n'ai pas encore vu sa en cour.
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Vieux 09/11/2010, 18h52
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Oui justement, on ne les vois pas en cours :/
Essaye ce que te dit Ben314 :)
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Vieux 09/11/2010, 18h54
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Mais j'ai trouver que Un+1 - Un = 0 car U1 - U0 = 0

Et Un+1/Un = U1/U0 = -1/1 = -1

c'est résultat sont s'ils justes ?
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Vieux 09/11/2010, 18h55
Rebelle_
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Non, tu ne peux pas dire ça car u_1 et u_0 sont des valeurs fixéees, ce que ne sont justement pas u_{n+1} et u_n !
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Vieux 09/11/2010, 18h56
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Mais j'ai besoin de connaitre la raison non ?
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Vieux 09/11/2010, 18h59
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Je n'ai toujours pas compris comment procédé .
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Vieux 09/11/2010, 19h02
Arnaud-29-31
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Il n'y a pas de raison.
Ton cours traite des suites arithmétiques et géométriques, termes qui concernent uniquement les suites d'ordre 1.

La conjecture est possible mais risque de ne pas être évidente.

Je te propose de montrer que la suite (U_{n+1} - 3.U_n)_{n \in \mathbb{N}} , qui elle est bien d'ordre 1 est géométrique
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Vieux 09/11/2010, 19h05
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Pour démontrer qu'une suite est géométrique il faut faire Un+1/UN
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Vieux 09/11/2010, 19h07
Ben314
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As tu calculé les premières valeurs de ta suite, "juste pour voir" ?
N'as tu absolument rien constaté ?
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Vieux 09/11/2010, 19h07
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J'ai besoin d'un exemple.
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Vieux 09/11/2010, 19h09
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Pour U2 j'ai trouvé -15
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Vieux 09/11/2010, 19h09
Ben314
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Parce que, le petit problème (à mon avis), c'est que par exemple
Citation:
Posté par Arnaud-29-31
Je te propose de montrer que la suite (U_{n+1} - 3.U_n)_{n \in \mathbb{N}} , qui elle est bien d'ordre 1 est géométrique
l'idée d'étudier U(n+1)-3.Un, il est sensé la sortir d'un chapeau ?
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Vieux 09/11/2010, 19h10
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Je n'ai pas encore vu sa en cour.
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Vieux 09/11/2010, 19h11
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Je n'ai fais que les suites basiques pour l'instant.
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Vieux 09/11/2010, 19h14
Ben314
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Citation:
Posté par businessmanfr
Pour U2 j'ai trouvé -15
Oui, c'est ça :
U0=1 {celui là est un peu spécial : c'est le seul positif}
U1=-1
U2=-15
U3=-81
U4=-351
U5=-1377
U6=-5103
U7=-18225
Aprés, c'est pas gagné... : comme c'est des nombres entiers, il peut venir à l'esprit de voir par quoi ils se divisent...
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Vieux 09/11/2010, 19h15
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Sa ce divise par 3
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Vieux 09/11/2010, 19h16
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Après avoir trouvé par quoi cela se divise, il faut faire quoi ?
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Vieux 09/11/2010, 19h21
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Il faut démontrer par récurrence ?
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Vieux 09/11/2010, 19h22
Ben314
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Citation:
Posté par businessmanfr
Sa ce divise par 3
C'est un (trés bon) début : effectivement à part U1, ils se divisent tous par 3.
Mais en fait U3=81 se divise plusieurs fois par 3 (en fait 81=3^4).
Combien de fois peut-on mettre 3 en facteur dans U4 ?, dans U5 ?, dans U6 ?

Citation:
Posté par businessmanfr
Il faut démontrer par récurrence ?

Pour pouvoir faire une récurrence, il vaudrait mieux avoir une formule Un=... sous la main.
On pourrait effectivement montrer (par récurence) que tout les Un (n>=2) sont divisibles par 3, mais on serait encore assez loin du résultat demandé.
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Vieux 09/11/2010, 19h25
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U4 = 3^3
U5= 3^4
U6 = 3^6
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Vieux 09/11/2010, 19h28
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Citation:
Posté par businessmanfr
U4 = 3^3
U5= 3^4
U6 = 3^6
non :
Sort une machine (ou utilise celle de ton ordi) pour vérifier, c'est un peu plus compliqué que ça (mais pas beaucoup : tu chauffe...)
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Vieux 09/11/2010, 19h29
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Mais je peux pas aller plus loin sinon j'aurais des nombres a virgules
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Vieux 09/11/2010, 19h33
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Pouvez vous me donnez un indice ?
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Vieux 09/11/2010, 19h36
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Bon, sinon, ce que tu as sous les yeux (depuis un bon moment), c'est ça
U0=1 {celui là est un peu spécial : c'est le seul positif}
U1=-1
U2=-15
U3=-81
U4=-351
U5=-1377
U6=-5103
U7=-18225
puis ça :
U0/(3^-1) = ? {un peu spécial, mais on peut toujours regarder...}
U1/(3^0) = ? {celui là aussi est un peu spécial...}
U2/(3^1) = ?
U3/(3^2) = ?
U4/(3^3) = ?
U5/(3^4) = ?
U6/(3^5) = ?
où j'espère que tu as fait les calculs...
Ensuite la question est : est ce que tu ne vois pas une "logique" dans cette suite ?

Dernière modification par Ben314 09/11/2010 à 21h26.
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Vieux 09/11/2010, 19h42
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La raison est -4.
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Vieux 09/11/2010, 19h43
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Mais cela servira à quoi de savoir sa raison ?
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Vieux 09/11/2010, 19h47
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Citation:
Posté par businessmanfr
La raison est -4.
La raison de quoi ? peut tu me dire combien ça vaudrait à ton avis U100/(3^99) (bien sûr sans calculer U100) ?
et en général Un/(3^(n-1)), il semblerait que ça vaut quoi ?

Citation:
Posté par businessmanfr
Mais cela servira à quoi de savoir sa raison ?
Tout ce qu'on fait pour le moment, ç'est une "conjecture", c'est à dire qu'on essaye d'avoir une idée de la formule qui donne Un.
Donc, maintenant que tu as l'impression de voir "comment ça marche", il faudrait que tu finisse par écrire :
"Il semblerait bien que Un=..."
Ensuite, il faudra faire la preuve (par exemple par récurrence)
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Vieux 09/11/2010, 19h49
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Par exemple Un= Un/(3^(n-1))
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Vieux 09/11/2010, 19h52
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Au rang 0 U0= U0/(3^(0-1))
Au rang n Un = Un/(3^(n-1))
Au rang n+1 Un+1 = Un+1/(3^(n+1-1))

Suis-je sur la bonne voie ?
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Vieux 09/11/2010, 19h54
Ben314
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Citation:
Posté par businessmanfr
Par exemple Un= Un/(3^(n-1))
non, à droite du =, tu ne veut avoir un truc qui ne dépend que de n (et pas de Un), sinon on est en train de "tourner en rond".
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Vieux 09/11/2010, 19h58
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Comment on peut faire sa remplacer Un par n ?
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