Mathématiques - Forme bilinéaire et quadratique

Forme bilinéaire et quadratique
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Posted by: euclide

Bonjour, je bloque sur un problème. Le voici :

On considère la forme bilinéaire symétrique non-dégénérée suivante :

$f(u,v)=x_{n}y_{n}-\sum_{i=1}^{n-1}{x_{i}y_{i}}$ où $(x_{1}...x_{n})$ sont les coordonnées du vecteur u et $(y_{1}...y_{n})$ celles de v.

Et soit Q la forme quadratique associée.

Il faut montrer que si on a Q(u)>0 et f(u,v)=0 alors cela impilque que Q(v)<0.

Posted by: fahr451

bonjour
l 'inégalité stricte est fausse prendre v = 0 qui convient
par commodité par l'absurde

si on a Q(v)>0 alors

yn^2 >= sigma yi^2 (la somme va de i = 1,...,n-1)

or xn^2 > sigma xi^2 d'où

(xnyn)^2 > sigmayi^2 sigma xi^2

or sigma yi^2 sigma xi^2 >= [sigma( xiyi)]^2 (cauchy schwarz)

et lxnynl > l sigma xiyi l ce qui contredit f(u,v) = 0

donc Q(v)=<0

Posted by: euclide

Si on prend Q(v)>0 alors on devrait avoir $y_{n}^2> \sum_{i=1}^{n-1}{y_i}^2$ et non pas $y_{n}^2\ge \sum_{i=1}^{n-1}{y_i}^2$ nan ??

Posted by: fahr451

oui j avais dabord pris >= et regardé le cas dégalité
(strict implique large note)

Posted by: fahr451

c'est la deuxième fois que je réponds à tes questions euclide et la deuxième fois que tu ne daignes pas dire un simple merci