Mathématiques - fonctions et suites

fonctions et suites
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Posted by: Bourasland

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour un exercie.
Voici l'énoncé,

Soit $n\in \mathbb{N^*}$ . On pose

$\varphi : \mathbb{R_+^*\to \mathbb{R}$
$\fbox{x\to xln(1+\frac{1}{x})-1 }$

$f: \mathbb{R_+}\to \mathbb{R}$
$\fbox{x\to \frac{x^n}{n!}exp{-x} }$

1) a) Montrer que la fonction $\varphi$ peut être prolongée par continuité en 0 en posant $\varphi(0)=0$ .
b) Etudier $\varphi$ et en déduire que $\varphi \le 0$

2) Etudier $f_n$ et exprimer $M_n=\sup_{\mathbb R_+} f_n$ en fonction de $n$ .

3) On pose $u_n=ln(\frac{M_{n+1}}{M_n})$ . Montrer que $u_n=\varphi(n)$ .
En déduire que $(M_n)_{n\in \mathbb{N^*}}$ converge (sans déterminer sa limite)

bon pour la question 1)a
Pour moi on peut prolonger cette fonction en 0 en posant $\varphi(0)=0$ si,
$\lim_{x\to 0}\varphi=0$ mais ça n'est pas le cas
$\lim_{x\to 0}\varphi=-1$ pourquoi peut t'on prolonger par continuité alors?

pour ce qui est de l'étude de $\varphi$ , j'ai trouvé
$\varphi'(x)=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}$
mais je suis bloquer pour résoudre $\varphi'(x)=0$

et pour les questions suivantes je n'y arrive pas pour l'instant...
Pourriez vous m'aidez

Posted by: fatal_error

Bonjour,

Pour le problème du -1 je suis d'accord avec toi. Maple aussi a l'air oO.
-1+ln(1/x)*x+x^2+Oo(x^2)

Si on prolonge par phi(0)=-1 On peut utiliser la dérivée double.
On trouve normalement f strictement croissante sur R+ et/or lim de phi en linfini =0.

Pour la deux :
il faut deriver fn par rapport à x.
Apres c'est une etude, tu cherches le max de fn(x) pour un n donné (normalement tu trouves x=n)

3°) faut remplacer le f de fn(x) par la valeur du sup, donc par n. Ca tombe tout pil \o
Apres je pense qu'ils veulen qu'on disent un=phi(n) donc en linfini Mn+1 = Mn (donc Mn admet une limite?).

Posted by: Bourasland

- c'est bon en fait j'ai trouvé, en posant $X=\frac{1}{x}$ , on a bien
$\lim_{x\to 0}\varphi(X)=0$ , d'où la possibilité du prolongement par continuité en 0

- j'ai dérivé une seconde fois $\varphi$ et je trouve bien $\varphi(x)\le 0$ .
Par contre comment fais tu pour trouver la limite de $\varphi$ en $+\infty$ ?
- pour la 2) j'ai bien trouver $f_n'(x)=0$ pour $\fbox{x=n}$
après je suis pas sûr mais je trouve,
$M_n=\frac{n^n}{n!}exp{-n}$ , c'est ça ?

Posted by: fatal_error

phi=x(ln(1+1/x))-1
en linfini, 1/x tend vers 0, dl ordre 1 de ln, ln(1+1/x)~1/x

Pour Mn oui c'est ca.

Posted by: Bourasland

Ok merci, sinon pour la 3) j'ai bien trouvé $u_n=\varphi(n)$
Par contre je n'arrive pas très bien à faire le parallèle entre $M_n$ et $\varphi(n)$ , je sais que $\varphi(n)$ converge vers 0 mais après...

Posted by: fatal_error

Donc ln(Mn+1/Mn)=0 et Mn+1 = Mn après, je ne sais pas si on a le droit de conclure que Mn admet une limite

Posted by: Bourasland

J'avais penser à faire un passage à la limite
comme,
$u_n=\varphi(n)$ , par passage à la limite on a:
$\lim_{x\to +\infty}u_n=0$
-> u converge
donc $(M_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ converge aussi car u est composé par $M_n$

Posted by: Bourasland

J'ai trouvé autre chose:
$u_n=\varphi(n)$
$\varphi(n)\le 0$ donc,
$u_n\le 0$
$ln(\frac{M_{n+1}}{M_n})\le 0$
$\frac{M_{n+1}}{M_n}\le 1$
$M_{n+1}\le M_n$
Donc la suite $(M_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ est décroissante
Mais après...faudrait montrer qu'elle est minorée ou majorée...

Posted by: Bourasland

c'est bon j'ai trouvé

Exercice terminé !

Merci pour votre aide en tout cas