Mathématiques - Fonctions génératrices ..

Fonctions génératrices ..
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Posted by: sandrine_guillerme

bonsoir;

Je cale sur un problème (il paraît que c'était une question d'oral d'agrég .. )

$\rm E$ espace de Banach, $\rm U$ ouvert de $\rm R$ x $\rm E$ et $\rm V$ ouvert de $\rm E$
$\rm E$ est le produit de $\rm E_1$ x $\rm E_2$ (produit de deux Banach) ... $\rm J$ compact
On suppose que $\rm E_1$ est un espace de dimension finie (ou un espace réflexif) $\rm B$ , que $\rm E_2 = B'$ et que les $\rm \Gamma_t$ sont hamiltoniens *.

Montrer que pour $\rm \left( s,t \right) \in J$ et $\rm |t-s| < \delta$ , si $\rm (Q^t_s,P^t_s)= R^t_s$ , la fonction $\rm \Phi_s^t : E \rightarrow R$ définie par
$\rm \Phi^t_s \circ h_s^t(q,p) : = pq + \int_{s}^{t} P_s^{ \tau } (q,p) \frac { \partial }{ \partial r} Q_s ^{ \tau } (q,p) - H_{\tau} (R^{\tau}_s(q,p))) \, d \tau$ est une fonction génératrice de $\rm R_s^t$ **.

(*) : il existe une fonction réelle $\rm H : (t,q,p) \rightarrow H_t(p,q)$ de classe $\rm C^2$ au voisinage de $\rm J$ x $\rm E$ dans $\rm R$ x $\rm E$ telle que $\rm \Gamma_t (q,p) = (-I^{-1} \partial _2 H_t(p,q))$ , où $\rm I$ est l'isométrie canonique de $\rm B$ sur $\rm B"$ .

(**) : le graphe de $\rm R^t_s$ est l'ensemble des des $\rm \left( q,p \right) ,\left( Q,P \right) \in E^2$ qui vérifient :
$\rm q = (I^{-1} \partial _2 \Phi^s_t(Q,p)$ et $\rm P = \partial _1 \Phi_s ^t(Q,p)$

Merci pour votre aide .. !

Posted by: sandrine_guillerme

oui alors , un petit détail

il existe $\Large \rm \delta$ tel que chacune des applications $h^t_s : (x,y) \rightarrow ( \pi_1 \circ R^t_s(x,y),y)$ avec $|t-s| < \delta$ est un isomorphique de lipschitz de $E$ sur lui même.

et $\rm \pi_1 : E_1 \otimes E_2 \rightarrow E_1$ la projection canonique.

Posted by: sandrine_guillerme

Bonjour,

Je tente de remonter ce fil ..

dur , ou je n'étais pas très clair ?

Merci

Posted by: barbu23

Bonjour :
Dur dure, c'ke tu ecrits !

Tu comptes passer l'agregation un jour "Sandrine" ?
Benn d'abord, je ne sais pas c'ke c'est que espace reflexif, hamiltonien, isomorphisme de lipshits, fonctions generatrices ... Ben, voilà comme tu remarques, je suis trop ignorant en mathematique ... ben, l'hamiltonien, je l'ai etudié une fois en physique quantique et une fois je l'ai vue en EDP !! mais, sans qu'on les etrudient en classes ... !
Essayes de nous expliciter tout ça por voir si on peut t'aider, et en même temps on apprend avec toi , non ?

Posted by: sandrine_guillerme

salut barbu

bah omets le fait que E est un espace réflexif on suppose donc désormais qu'il est de dimension finie
pour les fonctions génératrices cf 1er post
pour la définition d'hamiltoniens, cf. 1er post

une idée juste comme ça, on dérive $\Phi$ mais ça fait des calculs vraiment horrible !!

Posted by: barbu23

Bonjour "Sandrine" :
Ton exo n'a rien à avoir avec le programme de l'agragation .. j'ai cherché sur le net tout à l'heure ... et ces trucs là on les etudie surtout en geometrie differentielle ( geometrie symplectique ) ... donc de niveau superieure à celui des aregés je pense ... ( enfin ,je pense ... )

Posted by: sandrine_guillerme

Ah !! Tu me remontes pas le moral avec ça .. ! (effectivement il y a
Merci quand même pour ta réponse .. !

M'enfin pour tize yos, Rain' BQSs joker .. ça vous dit pas grand chose ?

Posted by: Joker62

Personnellement, moi ce genre d'exo m'effraie plutôt qu'autre chose :^)
Je trouve ça horrible toutes ces notations...
Si c'est vraiment au programme de l'agreg, j'crois que j'vais m'arrêter avant lol :D

Posted by: ffpower

Qustion d agreg il y a 50 ans non?enfin en principe,les trucs a savoir a l agreg sont plus elementaires(et surtout moins technique)..En tout cas faut pas se decourager pour ca lol(au pire dans les matieres ou ya trop de trucs compliqués a connaitre tu fais l impasse^^)

Posted by: tize

Bonjour Sandrine, barbu, Joker et ffpower,
tout d'abord ce problème ne fait pas du tout partie du programme officiel de l'agrégation mais à un oral d'agreg il me semble que c'est l'agrégatif qui place le niveau dans ses leçons et ouvre les portes au jury pour des questions de ce type (il faut donc pouvoir assurer derrière ou placer la barre moins haut dans ses leçons).

Ensuite je vais poster quelques questions et commentaires que beaucoup se posent je pense :
Désolé mais le problème, tel qu'il est posé, est un véritable fouillis, à tel point qu'il est difficile de s'y intéresser (mais c'est personnel j'ai le même ressenti que Joker vis à vis de toute ces notations).
Je vais donc tenter de résumer :
$E=E_1\times E_1^'$ est un Banach. OK
U et V des ouverts dont on entend plus parler par la suite...pourquoi en avoir parler alors ?
"J compact" En déchiffrant un peu j'en ai déduis plus bas que c'est un compact de $\mathbb{R}$
Ensuite c'est encore pire, il y a de nombreux objets partiellement définis ou alors la définition vient bien après...C'est vraiment beaucoup trop indigeste pour moi, désolé Sandrine j'aurai aimé t'aider mais ce sera sans moi, j'espère que d'autres membres plus compétents que moi pourront t'aider.

Posted by: barbu23

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Ah !! Tu me remontes pas le moral avec ça .. ! (effectivement il y a
Merci quand même pour ta réponse .. !

M'enfin pour tize yos, Rain' BQSs joker .. ça vous dit pas grand chose ?

Biensûr que j'te remontes le moral ... c'est pour que tu te rends compte que c'est à un niveau superieur à celui de l'agregation ... et qu'il faut pas bruler les etapes, et passer directement à ces choses là ... mais, pas à pas jusqu'à arriver à ce niveau là ... d'abord, est ce que tu maitrises bien ces notions ... moi, j't'ai dit, je les ai jamais etudié ni entendu parler ... et toi, t'es comme moi d'après c'ke tu m'as raconté une fois, t'es en L3 ... donc, il te faudra encore lire d'autres cours que tu n'a pas encore travaillé peut etre avant de passer à cet etape là ... mais comme ça, d'un seul coup, les hamiltoniens et espace reflexif et ... et ... et ... c'est complètement à l'extreme ...

Bonne chance quant même et je ne peux que t'encourager ... !

Posted by: sandrine_guillerme

D'abord merci José pour les remarques,
je vais essayer de voir l'exo à tête reposé, là je peux pas je révise les probas,

sinon barbu, cet exo bah c'est notre prof qui nous l'as proposé, c'est collé à mon programme, c'est pas moi qui ai cherché ça .. parceque j'ai plus le temps de faire ce genre de chise

si tu veux un peu plus en détail notre prof nous a donné 5 exos, pratiquement les 5 infaisable, et il pense que c'est incontournable pour l'examen, j'ai vraiment calé sur les 5, du coup c'est le stress pour mon exam,

bref J'y retourne ..

Posted by: Rain'

Coucou Sandrine, je passe te faire un petit coucou,

joli exo, j'ai rien compris

(mais bon il est tard et j'ai du sommeil à rattraper).

Posted by: ffpower

Je veux bien essayer d y refléchir un petit peu,avec un peu de chance ya pas besoin d acquis dans le domaine(je sais meme c est quoi le domaine oO) mais ce qui est sur c est qu il faut que tu repose bien clairement le probleme.toutes les hypotheses dans l ordre,toutes les notations,car la ya un certain nombre de choses qui ne sont pas définies.
Mais en tout cas ya certainement pas besoin de trucs de ce niveau pour choper une bonne a l agreg.T en prepa agreg la ou en master?car le niveau de l agreg est inferieur a celui de master

Posted by: sandrine_guillerme

bonsoir,

ok reformulons tout ça

Préliminaire :

on suppose que $\rm E$ est le produit de deux Banach et que $\rm J$ est un compact on note :
$\rm \pi_1 : E_1 \times E_2 \rightarrow E_1$ la projection canonique .

on définit une application localement lilipschitzienne $\rm R : (s,a,t) \in J \times E \times J$ la résolvante de $\rm \frac{dx}{dt} + \Gamma(t,x) = 0$ comme suit :

pour chaque $\rm (s,a,t) \in J \times E \times J. R_s^t (a)$ est la valeur au temps $\rm t$ de la solution maximal de $\rm \frac{dx}{dt} + \Gamma(t,x) = 0$ qui vaut a au temps $\rm s$ .

et $\rm \Gamma :J \times E \rightarrow E$ une âpplication qui a la propriété suivante : pour chaque partie compacte $\rm K \subset J$ il existe une constante $\rm c_k \ge 0$ tel que $\rm Lip ( \Gamma (t,x) \le c_k \foral t \in K$ ..

ma première question est comment montre t on qu'il existe $\rm \delta > 0$ tel que chacune des applications $\rm h^t_s :(x,y) \rightarrow ( \pi_1 \circ R_s^t(x,y),y)$ avec $\rm |t-s| < \delta$ soit un isomorphisme de lipschitz de $\rm E$ sur lui même .

Question : je ne vois toujours pas comment montre t on cette assertion.

J'espère avoir été claire ..

Posted by: sandrine_guillerme

Bonjour,

Je fait un petit up , (promis pour la dernière fois)
pour ceux qui n'ont pas pu le voir .. ?

Posted by: ffpower

J ai pas encore eu le courage d y reflechir mais promis je vais m y atteler^^

Posted by: barbu23

Dis nous c'ke c'est isomorphisme de Lipschitz et c'est quoi cette notation $\ Loip ( \Gamma > c$ ... on sait rien de c'ke tu ecris ... !

Posted by: ffpower

Lip(\gamma(t,x)) je supppose que c est la constante de Lipshitz de x->gamma(t,x).En gros les gamma(t,.) sont uniformement lipshitziennes sur les compacts(comme pour cauchy lipshitz).Et iso de Lipshitz,que c est une bijection Lipshitzienne(ainsi que sa reciproque).Pour moi ca va l enoncé semble un peu plus clair.(je dis pas que je vais reussir a grand chose je suis pas genial en calcul diff,mais je vais essayer..Enfin plus tard^^)

Posted by: sandrine_guillerme

Bonjour

D'abord c'est pas Loip c'est Lip
en général !
$Lip( \Gamma_{t \vert \Omega } )$ est une notation qui signifie la plus petite constante de Lipschitz associée à $\omega \in \Omega \mapsto \Gamma(t,\omega)$

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par ffpower

Lip(\gamma(t,x)) je supppose que c est la constante de Lipshitz de x->gamma(t,x).En gros les gamma(t,.) sont uniformement lipshitziennes sur les compacts(comme pour cauchy lipshitz).Et iso de Lipshitz,que c est une bijection Lipshitzienne(ainsi que sa reciproque).Pour moi ca va l enoncé semble un peu plus clair.(je dis pas que je vais reussir a grand chose je suis pas genial en calcul diff,mais je vais essayer..Enfin plus tard^^)

Posted by: ffpower

Bon je crois que c est bon: $R_s^t(a)$ est donc la valeur en t de la solution de l equa diff qui vaut a en s.Si on réecrit l equa diff sous forme integrale on a donc $\displaystyle R_s^t(a)=a-\int_s^t\Gamma(u,R_s^u(a))du$
Je vais montrer que si $|t-s|<\delta$ , avec $\delta$ assez petit alors les $Q_s^t=Id_E-R^t_s$ vont etre 1/2 contractant.On a
$\displaystyle Q_s^t(a)=\int_s^t\Gamma(u,R_s^u(a))du$
donc
$\displaystyle |Q_s^t(a)-Q_s^t(b)|\leq\int_s^t|\Gamma(u,R_s^u(a))-\Gamma(u,R_s^u(b))|du\leq C\int_s^t|R_s^u(a)-R_s^u(b)|du\leq C\int_s^t(|Q_s^u(a)-Q_s^u(b)|+|a-b|)du$
Posons $M(a,b)=sup(|Q_s^t(a)-Q_s^t(b)|,|t-s|<\delta)$ .On a alors
$M(a,b)\leq C\delta(M(a,b)+|a-b|)\leq 1/3(M(a,b)+|a-b|)$
si $C\delta<1/3$ ,d ou $M(a,b)\leq 1/2|a-b|$
Les $Q_s^t=Id_E-R^t_s$ sont donc 1/2 contractant si $|s-t|<\delta$
Finalement,les $Id_E-h_s^t$ sont donc eux aussi 1/2 contractant d ou on en deduit $1/2|a-b|\leq|h_s^t(a)-h_s^t(b)\leq 3/2|a-b|$
En particulier $h_s^t$ est injective.Il reste a voir qu elle est sur jective.Pour voir qu un z de E est atteint par $h_s^t$ ,on applique le theoreme de point fixe des Banach a $Id_E-h_s^t+z$ qui est 1/2 contractant.On obtient ainsi un a tel que $a-h_s^t(a)+z=a$ i.e. $h_s^t(a)=z$ .Les $h_s^t$ sont donc des isomorphismes bilipcshitziens...Voili voilou^^

Posted by: sandrine_guillerme

Merci ffpower,

l'idée directrice c'est d'écrire l'équation sous forme intégrale .. fallais voir quand même qu'ils sont 1/2 contractant !!
mais là c'est bon, je vois d'où ça vient .

Pour la question qui porte sur les fonctions génératrices c'est la quivante :

On suppose que $\rm E_1$ est de dimension finie (ou un espace réfléxif) $\rm B$ , que $E_2 = B'$ et que les $\Gamma_t$ sont hamiltoniens
ie :existe une fonction réelle $\rm H : (t,q,p) \rightarrow H_t(p,q)$ de classe $\rm C^2$ au voisinage de $\rm J$ x $\rm E$ dans $\rm R$ x $\rm E$ telle que $\rm \Gamma_t (q,p) = (-I^{-1} \partial _2 H_t(p,q))$ , où $\rm I$ est l'isométrie canonique de $\rm B$ sur $\rm B"$ .

Montrer que pour $\rm \left( s,t \right) \in J$ et $\rm |t-s| < \delta$ , si $\rm (Q^t_s,P^t_s)= R^t_s$ , la fonction $\rm \Phi_s^t : E \rightarrow R$ définie par
$\rm \Phi^t_s \circ h_s^t(q,p) : = pq + \int_{s}^{t} P_s^{ \tau } (q,p) \frac { \partial }{ \partial r} Q_s ^{ \tau } (q,p) - H_{\tau} (R^{\tau}_s(q,p))) \, d \tau$ est une fonction génératrice de $\rm R_s^t$ .

i.e : le graphe de $\rm R^t_s$ est l'ensemble des des $\rm \left( q,p \right) ,\left( Q,P \right) \in E^2$ qui vérifient :
$\rm q = (I^{-1} \partial _2 \Phi^s_t(Q,p)$ et $\rm P = \partial _1 \Phi_s ^t(Q,p)$

toujours pas claire ?
j'ai gardé les même notations saut pour $E_1$ qui désormais supposé de dimension fini ..

Posted by: ffpower

argh,tu veux ma mort lol..Bon ben je regarderai ca un peu plus tard.La au reveil je peux pas lol

Posted by: sandrine_guillerme

au fait l'indication de mon prof était qu'on doit dériver $\rm \Phi$ et integrer par partie ..

je te laisse d'abord te réveiller .. parce que je l'avoue c'est horrible comme calcul

Posted by: ffpower

Toujours pas tres clair..Quelques questions:
-C est quoi B?un autre Banach reflexif?
-que signifie pq?
-des fois t ecris (p,q),d autres fois (q,p).Est ce une coquille ou une subtilité?
-que viens faire l inverse de l injection canonique dans B'' ici,alors que je ne vois a priori nulle part des elements qui sont censé etre dans B''?
Bon voila pour le moment.comme tu vois tout ceci reste toujours obscur,ca necessite quelques explications voire une reformulation de l enoncé.

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par ffpower

Toujours pas tres clair..Quelques questions:
-C est quoi B?un autre Banach reflexif?
-que signifie pq?
-des fois t ecris (p,q),d autres fois (q,p).Est ce une coquille ou une subtilité?
-que viens faire l inverse de l injection canonique dans B'' ici,alors que je ne vois a priori nulle part des elements qui sont censé etre dans B''?
Bon voila pour le moment.comme tu vois tout ceci reste toujours obscur,ca necessite quelques explications voire une reformulation de l enoncé.

salut ffpower

oui B est un espace reflexif
q est un élèment de J et p un élèment de E
moi non plus je vois pas trop ce que l'inverse de l'injection canonique dans B'' ??

Chai pas trop je laisse reposer ça, je pense que c'est du temps perdu.. j'ai peut être un autre exo je verrais bien taleur

mais merci bien pour la 1ère question!!