Mathématiques - Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables
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Posted by: rifly01

Bonjour,

J'ai un exercice que je n'arrive pas à faire en voici l'énoncé :

Une boite rectangulaire (ouverte en haut) a pour volume 32 cm2. Trouver les dimensions de la boite pour lesquelles la surface totale de la boite est minimale.

Merci d'avance,

Posted by: busard_des_roseaux

sûr que c'est un cube, si la boite est fermée. Mais ta boite est ouverte sur le haut, ce qui introduit une dissymétrie.

Il faut trouver le minimum de
$f: (x,y,z) \longrightarrow xy+2xz+2yz$

sur la surface (variété de dimension 2) d'équation:
g(x,y,z)=xyz=32
de l'ouvert de $\mathbb{R}^3$ :
x > 0, y>0, z>0

Il me semble que les valeurs de x,y,z cherchées sont celles pour lesquelles les différentielles df et dg sont proportionnelles.
df et dg sont, toutes les deux, des applications linéaires de $R^3$ dans $R$ )

Qui confirme ?

les calcul sont alors immédiats.
df a pour coordonnées (df/dx,df/dy,df/dz).
idem pour dg.

Posted by: busard_des_roseaux

ok,
nous allons faire les calculs à la main car le problème est trivial. Pas besoin de fonctions implicites içi, car la surface d'équation xyz=32
admet le paramétrage global
$\mathbb{R}^{2*} \longrightarrow \mathbb{R}^3$
$(x,y) \longrightarrow (x,y,\frac{32}{xy})$

remarquons au passage que
$\mathbb{R}^{2*}$ est connexe par arcs puisque c'est le plan privé de l'origine et la surface itou.

la fonction à minimiser devient:
$(x,y) \longrightarrow f(x,y,z)=a(x,y)=xy + \frac{64}{x}+\frac{64}{y}$

En regardant la formule de Taylor:
$a(x_{0}+h,y_{0}+k)-a(x_{0},y_{0})=h \frac{da}{dx}(x_{0},y_{0})+k \frac{da}{dy}(x_{0},y_{0})+\frac{1}{2} (h^2 \frac{d^2 a}{dx^2}(x_{0},y_{0})+2hk \frac{d^2 a}{dxdy}(x_{0},y_{0})+k^2 \frac{d^2 a}{dy^2}(x_{0},y_{0})+o(||(h,k)||^2$

on s'aperçoit que nous avons un minimum local ssi
la différentielle de a est nulle et la forme quadratique positive.

écrivons que da=0

$y-\frac{64}{x^2}=0$
$x-\frac{64}{y^2}=0$

ce qui donne $x=4,y=4$ puis $z=2$

la forme quadratique :
$2(h^2+hk+k^2)$ ne s'annule pas sur $R^{2*}$ et reste positive.

conclusion: la boite est une moitié de cube.

remarque: le problème se généralise à une variété régulière,en effet le théorème des fonctions implicites fournit un paramétrage local de la variété,
$\phi$ , on remplace les coordonnées, du point sur la surface, via le paramètrage dans la fonction à minimiser. On différentie et l'on trouve que
$df o d\phi=0$ et $dg o d\phi=0$
df et dg se réduisent à deux formes linéaires de l'orthogonal de $Im(d\phi)$ et sont donc proportionnelles.

cordialement,

Posted by: ThSQ

Une solution élémentaire : $xy + 2yz + 2xz \geq 3 \sqrt[3]{4x^2y^2z^2} = 48$ avec égalité ssi x=y=2z=4 (moyennes géométrique et arithmétiques).