Mathématiques - Fonctions croissantes dérivée nulle

Fonctions croissantes dérivée nulle
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Posted by: quinto

Allo,
peut-on trouver une fonction strictement croissante sur R, dérivable presque partout et de dérivée nulle ?
Si oui, la construire.
C'est assez instructif et amusant.
Attention, l'escalier du diable n'est pas une solution...

Posted by: alben

Bonjour,
Oui c'est impressionnant mais on part quand même de l'escalier du diable, du moins dans ce que j'ai pu trouver sur le net.

Posted by: quinto

Salut,
j'aimerais bien que tu m'envoies le lien.
Moi j'ai une solution qui n'utilise pas du tout l'escalier du diable.

Liront ceux que ça n'intéresse pas de chercher:

Soit {x_1,...,x_n,...} l'ensemble des rationnels et soit
$\delta_{n}=\frac{\delta_{x_n}}{2^n}$
La mesure $s=\sum_n \delta_n$
est une mesure de probabilité sur R.
On pose alors $f(x)=s(]-\infty,x])$ qui vérifie les propriétés recherchées.

Sauf erreur.

Posted by: nuage

Salut quinto,
que désigne tu par $\delta_{x_n}$ ?

Citation:

Posté par quinto

La mesure $s=\sum_n \delta_n$ est une mesure de probabilité sur R.

Je te crois volontiers, mais une démonstration me serait utile.

D'avance merci
nuage :

Posted by: alben

Bonjour
@nuage : $\delta$ est habituellement la fonction de Dirac mais ici elle ressemble à une fonction indicatrice (valeur 1 au lieu de l'infini en x_n).

Ce que j'ai trouvé : la construction est proche de celle de Quinto mais en plus compliqué
ici
celle-ci semble plus accessible
celui-ci
En tout cas c'est intéressant mais je n'ai pas encore regardé tout ça en détail

Posted by: quinto

Citation:

Posté par alben

Bonjour
@nuage : $\delta$ est habituellement la fonction de Dirac mais ici elle ressemble à une fonction indicatrice (valeur 1 au lieu de l'infini en x_n).

Salut,
non c'est bien le dirac mais supporté par x_n.
Je n'ai pas trop le temps en ce moment, mais un peu plus tard, j'essaierais de te donner la démonstration nuage.

Posted by: quinto

Salut,
dans les grandes lignes:
Clairement on a une fonction positive définie sur les boréliens de R.
Pour montrer l'additivité dénombrable il suffit d'utiliser le théorème de Tonelli qui permet d'intervertir deux intégrales (et donc deux sommations) dès que toutes les quantités mises en jeu sont positives.

Pour voir que la masse totale est 1, c'est presqu'immédiat, on somme des 1/2^qqchose, la encore comme tout est positif, peu importe l'ordre de sommation, et qqchose parrcourt N, donc la masse totale est 1.

Posted by: cesar

Citation:

Posté par quinto

Allo,
peut-on trouver une fonction strictement croissante sur R, dérivable presque partout et de dérivée nulle ?
Si oui, la construire.
C'est assez instructif et amusant....

en effet, si vous trouvez une fonction qui soit à la fois strictement croissante et de derivée nulle, vous êtes tres fort...

Posted by: quinto

Alors ça a l'air que je suis très fort :)

Posted by: cesar

Citation:

Posté par quinto

Alors ça a l'air que je suis très fort :)

mais est ce que tu sais faire la difference entre une fonction et une distribution ???? .... sauf erreur de ma part, ta solution est une distribution pas une fonction...

Posted by: guadalix

Vous êtes trop fort pour moi en math... j'arrete de venir ici...

Posted by: quinto

Salut,
non c'est bien une fonction.
D'ailleurs la dérivée (au sens classique ou de Radon Nikodym) est nulle p.p. tandis qu'au sens distributionnelle, sa dérivée ne l'est pas (C'est justement la mesure s).

Pourquoi serait-ce une distribution ?
Je prend un x réel et je l'envoie sur un autre réel, c'est bien une fonction.
Une distribution est un élément du dual de l'espace des fonctions infiniement dérivables à support compact.

Posted by: cesar

Citation:

Posté par quinto

Je prend un x réel et je l'envoie sur un autre réel, c'est bien une fonction.
Une distribution est un élément du dual de l'espace des fonctions infiniement dérivables à support compact.

si l'on suppose cela vrai, prend un x fixé et donne nous la valeur de f(x), meme sous forme algebrique...Ce doit être possible si c'est une fonction, d'autant plus que Q est denombrable...ensuite, montre nous qu'elle est derivable en ce point (au sens des fonctions...), ce qui me semble délicat à faire, car elle est fortement discontinue - Q est dense dans R- , et montre nous que sa dérivée est nulle (tu l'as dit, mais pas démontré... et je me mefie beaucoup des évidences...)

Posted by: nuage

Salut cesar,
La fonction proposée par quinto est dérivable presque partout dans $\mathbb{R}$ , mais pas pour les valeurs rationnelles.
Quand a donner des valeurs il faudrait expliciter une bijection entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{N}$ ce qui n'est pas évident.
Personnellement je n'en connais pas explicitement.

A+

Posted by: quinto

Citation:

Posté par cesar

Théorème de Radon-Nikodym...
Visiblement tu ne veux pas me croire. Je m'en fou un peu, j'ai pas vraiment envie de faire la preuve, ce n'est vraiment pas intéressant.
Dans le même genre, il y'a l'escalier de Cantor, qui a grosso modo les mêmes propriétés.
Ce qui compte c'est que cette fonction existe, de toute facon c'est assez standard et si j'ai eu l'idée de construire cette fonction, l'existence d'une fonction strictement croissante dérivable p.p. de dérivée nulle n'est pas de moi... Tu ne sembles pas avoir confiance, tant pis.
a+

Posted by: quinto

Citation:

Posté par nuage

Quand a donner des valeurs il faudrait expliciter une bijection entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{N}$ ce qui n'est pas évident.
Personnellement je n'en connais pas explicitement.

A+

Salut,
on peut en trouver une explicitement entre N et N^2, mais ce n'est pas nécessairement très pertinent pour le reste.
Je pense que l'idée essentielle est celle de l'existence.

a+

Posted by: cesar

Citation:

Posté par quinto

, j'ai pas vraiment envie de faire la preuve, ce n'est vraiment pas intéressant.

a+

c'est comme cela que l'on commet des erreurs de calcul, en n'étant pas rigoureux ... mais c'est ton probleme....

Citation:

Posté par quinto

Dans le même genre, il y'a l'escalier de Cantor, qui a grosso modo les mêmes propriétés.
a+

l'escalier de Cantor n'est pas "strictement" croissant, mais "simplement" croissant, et à derivée nulle, ce qui change tout....

Posted by: quinto

Je ne sais pas trop pourquoi tu t'obstines à ne pas vouloir me croire.
Je n'ai pas envie de faire la preuve parce que c'est très technique, mais c'est un résultat on ne peut plus connu en analyse et en théorie de la mesure.
Ouvre un bouquin sur le sujet, par exemple Real and Complex Analysis de Rudin et tu auras la démo.

Théorème:
Soit x dans R^k et soit E_i(x) une suite d'ensemble qui rétrecit convenablement sur x. si $\mu$ est une mesure borélienne complexe, alors on sait (Lebesgue-Radon-Nikodym) que $d\mu=fdm+ds$ et on a alors
$lim \frac{\mu(E_i(x))}{m(E_i(x)} = f(x) [m] p.p.$

Et encore une fois, il est connu aussi que de telles fonctions existent. (Exercice 7 chapitre 7 du même livre)

Au lieu de cracher sur mon exemple sans argument, montre que ce n'est pas une fonction qui vérifie les propriétés requises...

Tu t'acharnes contre mon exemple, mais tu n'es pas capable de montrer qu'il est faux parce qu'il est bon.
Je te ramene donc à ta citation, la base des maths est un raisonnement rigoureux. Ici aucun raisonnement ne t'amene à montrer que ma fonction est mal définie.
Je pense que tu refuses juste de croire qu'une telle fonction existe, n'est-ce pas ?

Posted by: quinto

Citation:

Posté par cesar

c'est comme cela que l'on commet des erreurs de calcul, en n'étant pas rigoureux ... mais c'est ton probleme....

....

Avec le théorème que je viens de citer (et que tu peux trouver dans tout bon cours avancé de mesure), la preuve est triviale n'est-ce pas ?

J'ai construit ma mesure comme ayant une partie absolument continue nulle et comme étant supportée par un sous ensemble dense. De plus, puisqu'elle est finie, ma fonction est finie partout.
En appliquant le théorème, ma fonction est de dérivée nulle presque partout et strictement croissante, CQFD :)

Posted by: quinto

Puisque selon toi, une telle fonction ne peut exister, montre le nous :).

Posted by: nuage

Salut quinto

Citation:

Posté par quinto

Salut,
...
Je pense que l'idée essentielle est celle de l'existence.

Je suis d'accord avec toi : l'existence d'une bijection entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Q}$ suffit à prouver l'existence de la fonction que tu propose. Mais si on veut donner des valeurs numériques (ce que demande cesar) il faut expliciter cette bijection. Et ça c'est plus dur.

A+

Posted by: quinto

Salut,
oui bien sur.
En fait, je ne me risquerais pas à proposer quoique ce soit dans cette direction, ça semble beaucoup trop complexe...

Posted by: alben

Bonsoir,

Oui, la fonction proposée est bien dérivable presque partout et nulle là où elle existe. Cela donne une fonction qui va de 0 à 1 en faisant des sauts (de puce) sur les rationnels.
Il n'est pas trop difficile de construire une bijection entre N² et N (en plaçant les n² premiers entiers dans un carré n x n par exemple) et l'on pourrait utiliser cette injection i de Q+ dans N pour évaluer la fonction de quinto
Le problème, c'est qu'il faudrait être capable de déterminer tous les rationnels inférieurs à un réel donné... et ça ce n'est pas possible.
Ca n'empêche que l'on sait que f(x) prend une valeur finie comprise entre 0 et 1.
D'ailleurs, on est encore plus incapable de calculer la valeur des autres fonctions que j'avais trouvées sur le net et qui partent des ensembles diadique et triadique de Cantor.
Bravo et merci donc à Quinto.

Posted by: nuage

Salut,

Citation:

Posté par alben

...
Il n'est pas trop difficile de construire une bijection entre N² et N (en plaçant les n² premiers entiers dans un carré n x n par exemple) et l'on pourrait utiliser cette injection i de Q+ dans N pour évaluer la fonction de quinto...

Juste une remarque :
Le fait que
$card(\mathbb{N})\leq card(\mathbb{Q})\leq card(\mathbb{N}^2)=card(\mathbb{N})$
prouve qu'il existe une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Q}$ , mais ne la construit pas. Personnellement je n'en ai jamais vu, ni trouvé malgré quelques (courtes) recherches.

Citation:

Posté par alben

...Le problème, c'est qu'il faudrait être capable de déterminer tous les rationnels inférieurs à un réel donné... et ça ce n'est pas possible...

Je crois voir ce que tu veux dire :
<<une fois les rationnels indexé par les entiers, on ne peut pas déterminer le plus grand indice n tel que $q_n<x \in\mathbb{R}$ >>
C'est une objection assez forte à la possibilité de donner une bijection explicite entre $\mathbb{Q}\text{ et }\mathbb{N}$
Mais dire que ce n'est pas possible en général me semble abusif : voir la définition de $\mathbb{R}$ par les coupures, à titre d'exemple.

Amicalement
nuage :

Posted by: alben

Bonsoir Nuage
Pour construire la fonction de Quinto, on n'a pas besoin d'une bijection, une injection suffit.
Bien sur, elle n'ira pas de zéro à 1 mais de zéro à a<1, mais c'est sans importance. pour plus de facilité, on peut même se limiter aux réels positifs.
Or une injection de Q+ dans N est très facile à construire (il y a eu un fil à ce propos, je ne le retrouve pas)
Il suffit par exemple de poser p/q->i(p/q)
avec i(p/q)=q²+2q-p si p<q et i(p/q)=p²+p-q sinon
La valeur de la fonction f définie par quinto (et un peu bricolée) sera donc
$f(x)=\sum_{r\in Q\cap[0,x]}\;\frac{1}{2^{i(r)}}$
On ne peut pas en calculer les valeurs mais ce n'est pas parce que l'on ne peut pas trouver de bijection