Bonsoir ,voila on m'a demandé comment résoudre cet exercice mais j'en ai aucune idée:
Soit f:]0,+inf[-->R une application 2 fois dérivable sur ]0,+inf[,telle que f'' soit bornée au voisinage de +inf et que f admette une limite finie en +inf.
Montrer que:
f '(x)-->(x-->+inf) 0
J'ai commencé :
soit e>0 fixé,puisque f'' est bornée au voisinage de +inf ,il existe x_1 appartenant a ]0,+inf[ ,M >0 tels que:
pour tout x appartenant a [x_1,+inf[ : /f ''(x)/=<M
Et la je bloque...
Posted by: emdro
Bonsoir
Des hypothèses sur f et sur f ", et une question sur f', cela pose la question du lien entre ces trois fonctions. Peut-être qu'un théorème de Taylor, fournirait la réponse...
Posted by: Sylar
Je pensais plus au théorème des accroissement finis ....
Posted by: B_J
sauf erreur , f et f' sont uniformement continues sur si ca peut aider
Posted by: Sylar
Euh ,non ca ne m'aide pas trop ...
Posted by: Mohamed
l'inégalité des accroissemts fini sur f'', ca peut donner qlqch..
Posted by: emdro
Bonsoir,
C'est moins simple que prévu, mais je pense que cette solution fonctionne:
Disons que |f"| est majoré par M. D'après les accroissements finis, |f'(b)-f'(a)|<M(b-a).
Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe un epsilon strictement positif tel que pour tout réel A, il existe un a supérieur à A tel que |f'(a)|>epsilon.
C'est à dire soit f'(a)>epsilon ou f'(a)<-epsilon.
L'un de ces deux cas au moins se produit une infinité de fois (immédiat par l'absurde). Pour fixer les idées, disons que pour tout réel A, il existe un a supérieur à A tel que f'(a)>epsilon.
Mais lorsque f'(a)>epsilon, alors:
* pour tout h dans ]0; a+epsilon/M[, 0<epsilon-Mh<f'(a-h)
* pour tout h dans ]0; a+epsilon/M[, 0<epsilon-Mh<f'(a+h)
Graphiquement, autour de a, la courbe de f ' est située au-dessus d'un petit triangle de hauteur epsilon et de pentes M à gauche et -M à droite.
Si je pose p=epsilon²/M, et d=epsilon/M, le fait qu'on puisse trouver un nombre a aussi grand qu'on souhaite tel que f(a+d)-f(a-d)>p entre en contradiction avec le fait que f tende vers une limite finie.
si ca peut aider