Mathématiques - fonction à plusieurs variables

fonction à plusieurs variables
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Posted by: minidiane

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice:
Soirnt un ouvert de R^n, f: U->R, et g: U->R deux applications différentiables en a appartenant à U. Montrer que l'application f.g est également différentiable et d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).dg_a.

Quelqu'un peut m'aider?
Merci
Je me demande aussi si il n'y pas une erreur dans l'énoncé.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par minidiane

d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).dg_a.

pour a fixé, l'écriture a-t-elle un sens ?

dg appartient à quele ensemble ?

peut-on la multiplier par g(a) ?

pourquoi le terme de droite désigne une application linéaire ?

une fois répondu à ces questions, multiplies les deux développements limités
auquels on pense naturellement.

Posted by: busard_des_roseaux

je te propose l'exemple suivant pour mieux comprendre ce qui se passe:
$f(x,y)=x^2+y^2$
$g(x,y)=x^2-y^2$

developpe f $(1+h,2+k)$ et $g(1+h,2+k)$
calcule $f(1+h,2+k) \times g(1+h,2+k)$ en isolant la partie linéaire en (h,k).

Posted by: minidiane

pour a fixé, l'écriture a-t-elle un sens ? oui je pense

dg appartient à quele ensemble ? dg est l'application linéaire de U->R

peut-on la multiplier par g(a) ? oui

pourquoi le terme de droite désigne une application linéaire ? parce que c'est la différentielle

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par minidiane

dg appartient à quele ensemble ? dg est l'application linéaire de U->R

pour a fixé, dg est une application linéaire de $\mathbb{R^n}$ dans $\mathbb{R}$

pour n=1, c'est l'application linéaire $x \rightarrow kx$
avec $k=f '(a)$ .

peut-on la multiplier par g(a) ? oui

L'ensemble de ces applications linéaires forment le dual de $\mathbb{R^n}$ et constitue un e.v.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par busard_des_roseaux

je te propose l'exemple suivant pour mieux comprendre ce qui se passe:
$f(x,y)=x^2+y^2$
$g(x,y)=x^2-y^2$

developpe f $(1+h,2+k)$ et $g(1+h,2+k)$
calcule $f(1+h,2+k) \times g(1+h,2+k)$ en isolant la partie linéaire en (h,k).

je te fais mon exo pour que tu voies mieux:

$\displaystyle f(1+h,2+k)=1+2h+h^2+4+4k+k^2=5+(2h+4k)+(h^2+k^2)$

$\displaystyle g(1+h,2+k)= -3+(2h-4k)+(h^2-k^2)$

Quand on multiplie f par g, on voit apparaitre
l'application linéaire:
$(h,k) \rightarrow -3(2h+4k)+5(2h-4k)$

Posted by: minidiane

ok mais alors je pense qu'il ya bien une erreure d'énoncé
on ne devrait pas avoir d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).dg_a,
mais d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).df_a.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par minidiane

ok mais alors je pense qu'il ya bien une erreure d'énoncé
on ne devrait pas avoir d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).dg_a,
mais d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).df_a.

oui, c'est clair.

Posted by: minidiane

ok dans l'exemple je le vois très bien mais après pour faite la généralisation je ne vois pas trop comment commencer

Posted by: busard_des_roseaux

f(a+h)=f(a)+df(a)(h)+o(h)

h est un accroissement infinitésimal $\in \mathbb{R^n}$

On multiplie les deux développements limités.
Il faut ensuite identifier la partie linéaire et démontrer que le reste est o(h).

Tu peux t'inspirer de la célèbre démonstration de la classe de Terminale
sur la dérivée d'une fonction composée
que $(vou)'=(v ' o u) u'$ qui se fait par les différentielles.

Posted by: minidiane

ok mais il me reste f(a)g(a) je ne vois pas que c'est en o(h)

Posted by: busard_des_roseaux

On étudie l'accroissement des images...

$(fg)(a+h)-(fg)(a)=$

Posted by: minidiane

ok j'avais calculer f(a+h)g(a+h) ce qui me donnait f(a)g(a)+f(a)dg_a(h)+f(a)o(h)+df_a(h)g(a)+df_a(h). dg_a(h)+df_a(h)o(h)+o(h)...
et il me reste f(a)g(a)+f(a)dg_a(h)+df_a(h)g(a)+df_a(h).dg_a(h)

donc ce n'est pas vraiment la bonne manière de procéder si je comprend bien.

Posted by: busard_des_roseaux

reste plus qu'à écrire: $h \in \mathbb{R^n}$

$\displaystyle |df(a).h \times dg(a).h| \leq ||df(a)|| \, ||dg(a)|| ||h||^2 =o(h)$

en effet, df(a) et dg(a) sont des applications linéaires d'e.v de dimensions finies donc continues.

avec mon exemple: $(h,k) \in \mathbb{R^2}$

$\displaystyle |(2h+4k)(2h-4k)| \leq |4| (|h|+|k|)|4| (|h|+|k|) \leq 16 (|h|+|k|)^2 =o(||(h,k)||$

Posted by: minidiane

ok merci beaucoup pour ton aide