Mathématiques - fonction paire et impaire

fonction paire et impaire
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Posted by: lomdefer

Mon prof d'analyse nous a demander de démontrer que toute fonction de
R---->R se décompose de manière unique en somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Déja on sait qu'une fonction paire c'est :
pour tout x appartient à Df, f(-x) = f(x)
une fonction impaire c'est :
pour tout x appartient à Df, f(-x) = -f(x)

Donc on veut montrer que :

h:R--->R
avec h(x) = (f(-x) ou f(x)) + (f(-x) ou -f(x))

Est-ce que je commence bien déja ??

Posted by: Zebulon

Bonjour,
commencez par regarder les conditions nécessaires :
soit $h, f, g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , telles que f paire, g impaire et h=f+g.
Alors f=h-g. Et que vaut h(-x)? Déduisez-en la valeur de f.
Même raisonnement pour trouver la valeur de g.
Il ne reste plus qu'à montrer que les f et g trouvées vérifient bien les hypothèses.
Bon courage et n'hésitez pas à demander de l'aide si ça coince!

Posted by: lomdefer

Alors sur internet je vien de trouver la démonstration sauf qu'il y a quelque chose que je comprend pas.
Déja voici la démonstration :

http://img141.imageshack.us/img141/1452/demohx0.png

Y a t-il une raison pour qu'on choissisent h(x) et g(x) sous cette forme ??

Posted by: Zebulon

Oui, il y a une raison! En effet, si on suppose qu'elles existent, on les trouve de cette forme.

Posted by: Alpha

Salut, en fait on peut très bien trouver h et g en raisonnant par conditions nécessaires,

c'est-à-dire que tu poses f = g+h et que tu supposes g paire, h impaire,
alors tu exprimes f(x) et f(-x), ça te donne un système, ensuite tu additionnes ou soustraits les 2 lignes ainsi obtenues, ce qui en utilisant la parité de g et h te permet d'exprimer g et h en fonction de f, et de trouver le f et le h de l'énoncé.

Cette méthode a pour mérite de prouver directement l'unicité en même temps que l'existence, car puisqu'on peut remonter les égalités les fonctions g et h trouvées vérifient évidemment les conditions souhaites, ce qui est d'ailleurs immédiat d'après leurs expressions.

Posted by: lomdefer

J'ai beau écrire des lignes et des lignes de calcul ben j'arrive a rien :
On pose f = g +h
avec g paire et h impaire.
Ona donc : g(x) = g(-x) et h(x) = -h(x).
On aurait alors :
f(x) = g(x) + h(x) ou f(x) = g(-x) -h(x).
Donc la je crois que j'ai correctement exprimer f(x) mais pour f(-x) j'y arrive pas...

Posted by: Zebulon

Citation:

Posté par lomdefer

f(x) = g(x) + h(x) ou f(x) = g(-x) -h(x).

Je ne comprends pas ce ou.
On a plutôt f(x)=g(x)+h(x) et f(-x)=g(x)-h(x).
Donc, d'après la première équation, g(x)=f(x)-h(x) et, d'après la deuxième, g(x)=f(-x)+h(x) donc f(x)-h(x)=f(-x)+h(x) donc 2h(x)=f(x)-f(-x) donc $h(x)={{f(x)-f(-x)}\over2}$ . Voilà pour déterminer la fonction impaire. A vous de jouer pour déterminer l'autre.

Posted by: lomdefer

pour la fonction impaire :

d'aprèe la première equation de f(x) :
$h(x)=f(x)-g(x)$
d'après la secande équation de f(-x):
$h(x)=g(x)-f(-x)$
donc:
$f(x)-g(x)=g(x)-f(-x)$
$2g(x)=f(x)+f(-x)$
$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
Maintenant si on fait la somme de $g(x)+h(x)$ :
$g(x)+h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}+frac{f(x)-f(-x)}{2}$
$=\frac{2f(x)+f(-x)-f(-x)}{2}=f(x)$

Posted by: lomdefer

Merci j'ai pu faire l'exo !!
Maitenant j'ai une autre question:
il faut montrer que toute fonction de R dans R se décompose toujours comme la différence de deux fonctions positives.
Je pense que c'est le même principe :
on pose $f=g-h$ avec $g>0$ et $h>0$
(1) $f(x)=g(x)-h(x)$
(2) j'arrive pas a trouver f(-x)
c'est g(x)+h(x) ou g(-x) + h(-x) ??

Posted by: Alpha

Salut, tu poses g(x) = f(x) si f(x) positif, 0 sinon
h(x) = -f(x) si f(x) négatif, 0 sinon

Alors clairement pour tout x, f(x) = g(x) - h(x) ...

A+

Posted by: lomdefer

pourquoi faut t-il pauser g(x) = f(x) si f(x) positif, 0 sinon
h(x) = -f(x) si f(x) négatif.
Parce que si f(x) >0 alors g(x)>h(x)
et si f(x)<0 alors g(x)<h(x)

je vois pas le rapport...dsl

Posted by: Alpha

Eh bien réfléchis...

Posted by: lomdefer

on a $f(x)=g(x)-h(x)$ :
si $f(x)>0$ alors on a :
$f(x)=f(x)-h(x)$
si $f(x)<0$ alors on a :
$f(x)=g(x)+f(x)$
Mais a quoi sa sert ??

Posted by: Alpha

Ca sert à résoudre l'exo, tu le verrais si tu lisais plus attentivement ce que j'ai écrit...

Posted by: Zebulon

Alpha vous propose le truc suivant :
Soit $x\in\mathbb{R}$ , alors
si f(x)>0, on pose g(x)=f(x) et h(x)=0
si f(x)<0, on pose h(x)=-f(x) et g(x)=0
remarquez que si f(x)=0, on pose g(x)=0 et h(x)=0.
Alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , on a :
f(x)=g(x)-h(x)
$g(x)\geq0$
et $h(x)\geq0$
donc f=g-h, et g et h sont des fonctions positives.

Attention!! Dire que
pour tout $x\in\mathbb{R}$ , si f(x)>0 alors on pose g(x)=f(x)
est différent de
si f est positive alors on pose g=f.

Posted by: lomdefer

Et ben franchement j'arrive pas a comprendre...tant pis

Posted by: Zebulon

Précisément, qu'est-ce que vous ne comprenez pas?
Prenons un exemple, peut-être que ce sera plus clair.

Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par :
pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x)=e^x-1$ .

Comment construire g et h deux fonctions réelles, positives, et telles que f=g-h (c'est-à-dire telles que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , f(x)=g(x)-h(x))?

Pour construire ces deux fonctions, il suffit de dire quelle est l'image de x par g et h, pour tout x réel.

Soit $x\in\mathbb{R}$ , alors trois cas peuvent se produire : soit f(x)>0, soit f(x)<0, soit f(x)=0.
Si f(x)>0, alors soit g(x)=f(x) et h(x)=0.
Si f(x)<0, alors soit g(x)=0 et h(x)=-f(x).
Si f(x)=0, alors soit g(x)=0 et h(x)=0.
On a alors explicité les valeurs de g(x) et de h(x), et ce quel que soit x. Donc ça y est, g et h sont construites.

Montrons maintenant qu'elle conviennent :

(i). A-t-on f=g-h?
Soit $x\in\mathbb{R}$ ,
si f(x)>0 alors g(x)-h(x)=f(x)-0=f(x).
Si f(x)<0, alors g(x)-h(x)=0-(-f(x))=f(x).
Et si f(x)=0, alors g(x)-h(x)=0-0=0.
Donc pour tout $x\in\mathbb{R}$ , f(x)=g(x)-h(x) donc f=g-h.

(ii). g est-elle positive?
Soit $x\in\mathbb{R}$ ,
si f(x)>0, alors g(x)=f(x) $\leq$ 0.
Si f(x) $\leq$ 0, alors g(x)=0 $\geq$ 0.

(iii). h est-elle positive?
A vous de répondre...

Dans l'exemple, sauriez-vous me donner g et h? Et en général, quels sont leur graphe?