Mathématiques - Fonction intègrable

Fonction intègrable
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Posted by: sandrine_guillerme

Bonsoir les matheux ..

une petite question sur les fonctions intègrables au sens de Riemann .. je veux montrer que la fonction -pour tout n naturel- $\Large F_n:]0,+\infty[->R$ par $\Large F_n(x)= \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+t^2)^n}\, dt$ est intègrable .. je veux appliquer le critère d'intègrablité au sens de Riemann ..
Est ce que vous pourrez m'aider à prouver ceci s'il vous plaît ?

merci bien d'avance ...

Rappel d'une fonction intègrable au sens de Riemann:
la fonction $\Large f:[a,b]->R$ une fonction bornée est intègrable au sens de Riemann si $\Large i_f=s_f$ avec $\Large i_f=sup I_(f)$ et $\Large I_$ c'est l'ensemble des fonction en escalier qui minorent $\Large f$ et $\Large s_f= inf I_+(f)$ et $\Large I_+$ c'est l'ensemble des fonctions en escalier qui majorent f et la borne commune c'est l'intègrale de $\Large f$ .
et de là on en déduit le critère d'intègrabilité $\Large f:[a,b]->R$ bornée est intègrable au sens de Riemann ssi pour tout $\Large \epsilon > 0$ il existe $\Large h$ fonction en escalier qui minorent $\Large f$ et $\Large g$ fonction en escalier qui majorent $\Large f$ tel que $\Large\int_{a}^{b} g-h\, dx < \epsilon$ ..

Posted by: tize

Il y a un petit truc qui me dérange...quelles sont les bornes d'intégration des fonctions $F_n$ ? Car l'intégrale de riemann est définie pour des bornes finies et pour intégrer jusqu'à l'infini on sort du cadre de l'intégrale de riemann, c'est l'intégrale généralisée, non ?

Posted by: sandrine_guillerme

salut José
c'est 0 et 1 si tu vois que c'est poas correct propose en moi parceque l'important pour moi c'est la méthode ..

Merci

Posted by: sandrine_guillerme

Je me permes de le remonter si vous aurez peut être une idée !?

Posted by: yos

$F_n$ est continue, donc intégrable sur tout segment inclus dans $]0,+\infty[$ . On va pas revenir aux fonctions en escaliers à chaque fois.
Es-tu sûr de ton énoncé?

Posted by: sandrine_guillerme

c'est la même chose que tize m'a dit .. oui je suis sur j'ai même redemander à mon prof .. il m'a dit que c'est correct .. mais expliquer moi pourquoi vous remarquez l'erreur ..? parceque je n'ai pas de bons argument a donner au professeur ..

Posted by: yos

On peut pas parler d'erreur mais plutôt de grosse bizarrerie.

Allons-y pour les devinettes :

- je pense qu'il faut prouver que $F_n$ est intégrable sur $]0,+\infty[$ (et pas sur [0,1] et que tu confonds avec les bornes d'intégration qui servent à définir $F_n$ ).

- je pense aussi que le critère de Riemann dont il est question est celui sur la convergence des intégrales impropres (ou intégrabilité selon les nouveaux programme de sup) :
$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^\alpha}$ converge ssi $\alpha >1$ .
$\int_01\frac{1}{x^\alpha}$ converge ssi $\alpha <1$ .
Et pas le critère d'intégrabilité avec les fonctions en escaliers (que tu peux oublier).

Il est bien possible que je me trompe. Je ne connais pas le contexte (ce que vous avez vu récemment...). Mais si j'ai raison, même partiellement, ça veut dire que tu ne comprends pas bien l'énoncé.

Posted by: sandrine_guillerme

alors attends je t'explique.. je ne suis pas en sup .. je suis en deuxiemme année de licence math et j'ai une option (complèment mathématique) et ce qu'on a uniquement vu c'est le critère d'intègrabilité ce que j'avais cité ci haut c'est l'intègrabilité au sens de Riemann .. voila .. mais sinon j'ai ecris l'énoncé tel quel .. et j'en ai meme reparlé avec la prof y a pas d'erreur

Posted by: yos

As-tu déjà entendu parler d'intégration sur un intervalle non borné, ou encore d'intégrale convergente?
Le critère de Riemann que je cite dans mon précédent message te dit-il quelquechose?

Posted by: sandrine_guillerme

Oui ça me paraît naturel ce que tu m'a dis .. notemmant pour les intégrale sur des intervalles non bornée .. donc .. ?

Posted by: sandrine_guillerme

bon..tant pis pour moi, je laisse tomber ..

Posted by: yos

On peut majorer $F_n(x)$ par $1/x^n$ , ce qui assure l'intégrabilité de F sur $[a,+\infty[$ (où a est un réel >0) par le critère de Riemann.
Mais sur $]0, +\infty[,$ je ne sais pas trop.

Posted by: sandrine_guillerme

Ah bah moi je trouve que c'est ce que tu viens de me faire c'est bel et bien ce qu'il fallait démontrer !! en tout cas je suis trop contente de me retrouver avec ça .. et merci beaucoup d'ailleurs !

Cordialement

Posted by: Quidam

Sandrine,
Ta boîte de message privés est pleine !!! Si tu veux en recevoir de nouveaux, va falloir nettoyer !

Posted by: sandrine_guillerme

Ah okiii :)))

j'ai pas fais gaffe merci beaucoup !

Edit: c'est fait !