Je suis en licence de mathématique, et mon cours sur les fonctions holomorphes précise les conditions d'existence d'une fonction racine.
Par exemple, en se donnant comme coupure les réels positifs, la fonction racine est définie et bijective de C\R+ dans C+ où C+ et l'ensemble des complexes dont l'image est strictement positive.
C'est alors que je me suis posé la question suivante :
si on prend la fonction f(z) = (racine de z)/(z² + 1) définie sur C\R+, quels sont ses pôles ?
Je suis sûr à 99,9% que c'est i et -i lol (on le voit directement ou alors si on veut en avoir le coeur net, on pose z = a + ib, on identifie, et on trouve les solutions)
Mais, si on le voit différemment, pour résoudre une equation, on doit raisonner par equivalence.
Donc, pour cet exo :
z² + 1 = 0 <=> z² = -1 (*)
ensuite,
je dis que z² appartient à C\R+ car z appartient à C\R+, donc on passe à la racine de manière réciproque.
(*) <=> Racine(z²) = Racine(-1) (je n'ai pas mis -Racine car la Racine est bijective donc elle admet un seul antécédent)
Mais Racine(z²) appartient à C+ ce qui signifie que Racine(z²) = z appartient à C+, or z est dans C\R+.
Voilà mon problème (bien entendu, en continuant la résolution je trouve l'unique solution i ).
Je sais que quelque chose de très très bête m'échappe !!
Je vous remercie d'avance ;)
Posted by: ffpower
Tout simplement,la racine de z²,c est pas forcément z,ca peut aussi etre -z.Par exemple si ta racine est definie telle que racine(-1)=i,alors:
-si z=i,racine(z²)=racine(i²)=racine(-1)=i=z
-si z=-i,racine(z²)=racine((-i)²)=racine(-1)=i=-z
Voila l erreur..(mais j avoue il m a fallu qd meme pres de 5 minutes pour la trouver lol)
Posted by: silent_james
Oui en effet je vois maintenant,
Racine(z²)=z si z appartient à C+
Racine(z²)=-z si z appartient à C-.
C'est comme :
Racine(x²)=x si x positif et -x sinon !
Ce qui montre bien que ma question était débile lol
En tout cas,
Je te remercie ffpower !! pr ta réponse instantanée ;)
Posted by: yos
Bonjour.
C+ et C- ... en licence... hum hum...
Posted by: silent_james
??
Précise ta pensée stp
Posted by: yos
Désolé! Je viens de comprendre : "dont l'image est >0" : tu as voulu dire "dont la partie imaginaire est >0".
Posted by: ffpower
lol..ca me rappelle une perle du bac,un etudiant qui sort C+ et l examinateur qui repond "et pk pas C++ tant qu on y est"