Mathématiques - Fonction harmonique.

Fonction harmonique.
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Posted by: mehdi-128

Bonjour, comment montrer que :

a/toute fonction harmonique f:U->R vérifie le principe du minimum:si f admet un minimum local en a de U alors f est constante au voisinage de a.

b/Soit:f:U->R une fonction harmonique et constante sur Va c U ou a appartient a U.
Montrer que les conjugués harmoniques de f sont constantes sur Va.

En déduire que f est constante sur U.

je seche complètement ....

merci d'avance.

Posted by: rafbh

c'est quoi la définition d'une fonction harmonique peut etre je pourrais t'aider?
T'es en quel niveau?

Posted by: trust

il est en 1ère année 2ème cycle je crois

Posted by: trust

$u$ harmonique $\Leftrightarrow \Delta u = 0$ et $u\in\mathscr{C}^{2}$

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

$u$ harmonique $\Leftrightarrow \Delta u = 0$ et $u\in\mathscr{C}^{2}$

oui c'est ça mais as-tu une idée pour la 1ere question ?

Posted by: trust

$\mathbb{U}$ c'est un ouvert connexe je présume, et c'est $|f|$ qui admet un minimum local en $a$ ?

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

$\mathbb{U}$ c'est un ouvert connexe je présume, et c'est $|f|$ qui admet un minimum local en $a$ ?

U est un ouvert convexe donc connexe mais f admet un minimum local en a qui appartient a U.

Posted by: trust

Considère un voisinage connexe de a, puis considère la fonction $"-f "$ et applique le principe du module maximum

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

Considère un voisinage connexe de a, puis considère la fonction $"-f "$ et applique le principe du module maximum

Bah il faut faire la démo du principe de module maximum ?

J'ai pas très bien capté

Posted by: trust

appliquer le principe...

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

appliquer le principe...

D'après le principe:

Si |f| admet un maximum local en a de U, alors f est constante.

Mais ici on a f et pas :/f/ ,donc je peux pas l'appliquer .....

Posted by: trust

bah $f$ est harmonique ( c'est la partie réelle d'une fonction holomorphe ), et $|f|$ admet un minimum local donc sur ce voisinage, $|f|\geq |f(a)|$ ...

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

bah $f$ est harmonique ( c'est la partie réelle d'une fonction holomorphe ), et $|f|$ admet un minimum local donc sur ce voisinage, $|f|\geq |f(a)|$ ...

et de la il faut montrer que f est constante au voisinage de a .....

Posted by: trust

oui,

$f$ a un minimum donc quitte à changer par $|f|$ ou $-|f|$ , on peut appliquer le principe du module maximum...

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

oui,

$f$ a un minimum donc quitte à changer par $|f|$ ou $-|f|$ , on peut appliquer le principe du module maximum...

je comprend pas , ce qu'on doit montrer c'est ce principe .....
je vois pas pourquoi on devrait l'appliquer !

Posted by: trust

c'est le principe du module minimum qu'on te demande de démontrer, pas le principe du module maximum donc euh flemmard que je suis.....

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

c'est le principe du module minimum qu'on te demande de démontrer, pas le principe du module maximum donc euh flemmard que je suis.....

ah ok je vais regarder dans le livre que tu m'as donné ...

Posted by: mehdi-128

ah dans ton cours seulement le module maximum est démontré

pas de chance ....

Posted by: trust

bah utilise le principe du module maximum pour prouver le principe du module minimum.. c'est autorisé tu sais de faire ça....

Posted by: mehdi-128

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Posté par trust

bah utilise le principe du module maximum pour prouver le principe du module minimum.. c'est autorisé tu sais de faire ça....

Oui c'est vrai ,mais la démo du cours n'utilise pas le fait que f est harmonique ....

Posted by: trust

Si f harmonique alors f est partie réelle d'une fonction holomorphe. f n'est q'un cas particulier c'est tout...

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

Si f harmonique alors f est partie réelle d'une fonction holomorphe. f n'est q'un cas particulier c'est tout...

Oui exact ;sinon j'ai une idée:

intégral[0.. 2Pi] de f(a)-f(a+r*exp(ix)) dx = 0 d'apres le résultat précedent

or l'intégrale est nulle si la fonction est positive et continue

or : f(x) >= f(a) quitte a tout multiplier par -1 dans l'intégrale:

la fonction est positive donc dans B(a,r) : f(x)=f(a)

f est constante au voisinage de a ;c'est correct ?

Posted by: trust

Citation:

Posté par mehdi-128

f(x) >= f(a) quitte a tout multiplier par -1 : f(x)=f(a)

f est constante au voisinage de a

rien que ça et ça marche... normalement... et relis les posts précédent, tu verras que c'était déjà écrit depuis longtemps

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

rien que ça et ça marche... normalement... et relis les posts précédent, tu verras que c'était déjà écrit depuis longtemps

oui exact ,si on utilise la valeur absolue comme tu me l'avais dit au départ !

Sinon as tu une idée pour les conjuguées harmoniques ?

Posted by: trust

c'est quoi les conjugués harmoniques?

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

c'est quoi les conjugués harmoniques?

La question est :
b/Soit:f:U->R une fonction harmonique et constante sur Va c U ou a appartient a U.
Montrer que les conjugués harmoniques de f sont constantes sur Va.

En déduire que f est constante sur U.

Justement je sais pas ....

Posted by: trust

bah conjugués bidule, je connais pas mais je crois qu'il faudrait utiliser le principe du prolongement analytique...(p.8)

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

bah conjugués bidule, je connais pas mais je crois qu'il faudrait utiliser le principe du prolongement analytique...(p.8)

Ah bon

, je vois pas trop le rapport ;en plus on sait pas si f est analytique ...

Posted by: trust

toute fonction holomorphe est analytique, donc........ le principe dit que sur un petit ouvert connexe de U, si f coincide avec une fonction quelconque par exemple une fonction constante, donc, ces 2 fonctions sont égales sur tout U

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

toute fonction holomorphe est analytique, donc........ le principe dit que sur un petit ouvert connexe de U, si f coincide avec une fonction quelconque par exemple une fonction constante, donc, ces 2 fonctions sont égales sur tout U

quel est le rapport avec les conjugués harmoniques ?

Posted by: trust

je ne sais pas c'est quoi bidule conjugué bidule jte dis mais logiquement, si tu lis bien l'énoncé, il y aura le principe de prolongement forcément...

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par trust

je ne sais pas c'est quoi bidule conjugué bidule jte dis mais logiquement, si tu lis bien l'énoncé, il y aura le principe de prolongement forcément...

je crois que les conjugués harmoniques représentent :Im(f)

Ah si j'ai bien compris d'après le principe du prolongement analytique, f est constante partout car Re(f) cte sur un voisinage de a et Im(f) est cte sur un voisinage de a ;mais:

comment montrer que les conjugués harmoniques de f sont constantes sur Va ?

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par mehdi-128

J'ai réussi avec le théorème de cauchy riemann ..

Posted by: trust

et comment t'as fait?

Posted by: mehdi-128

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Posté par trust

et comment t'as fait?

si f=P+iQ alors

dP/dx=-dQ/dy
dQ/dx=dP/dy

tu as une fonction harmonique constante, donc c'est la parti réel d'une fonction holomorphe. Re(f) est constant surV, donc par les conditions de cauchy riemann Im(f) est aussi constante sur V, donc f est constante sur V et donc sur U tous entier. et donc Re f est constante sur U tous enier.

Posted by: trust

c'est f qui est harmonique non? c'est f donc la partie réelle.... pourquoi tu prends la partie réelle d'une partie réelle?

Posted by: mehdi-128

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Posté par trust

c'est f qui est harmonique non? c'est f donc la partie réelle.... pourquoi tu prends la partie réelle d'une partie réelle?

Oui en fait c'est plutot Re(F) et Im(F) avec Re(F) cte sur Va ;je me mélange avec les notations ...

f partie réelle d'une fonction holomorphe F

Posted by: mehdi-128

voila .......................