fonction gamma

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Posted by: praud

Soit la fonction gamma d'euler[\Gamma (s) = \int\limits_0^{ + \infty } {t^{s - 1} e^{ - t} } \].
Je cherche a demontre la derivabiltée de la fonction gamma et que la limite de gamma en est \[{ + \infty }\]
J'est deja montrer que gamma est convergente,continue et que <br /> \int\limits_0^{ + \infty } {\left| {log(t)} \right|^n t^{s - 1} e^{ - t} } <br /> \]est convergente.


Posted by: Aspx

L'intégrande (s,t) \rightarrow e^{-t} t^{s-1} est continue pour x fixé et continue par morceau à t fixé (car continue...), de plus sa dérivée partielle par rapport à s, ln(t) e^{-t} t^{s-1}, est aussi continue.
Si s appartient à [\alpha , \beta] on a |e^{-t} t^{s-1}| \leq e^{-t} (t^{\alpha-1}+t^{\beta-1}) qui est une référence continue par morceaux et R+ intégrable. (Même domination pour la dérivée mais on multiplie par ln(t) qui ne change rien à la R+ intégrabilité)
Gamma est donc dérivable.

Pour la limite, on peut peut être invoquer le critère séquentiel en montrant que \Gamma (n) = (n-1)!


Posted by: praud

Citation:
Posté par Aspx
Si s appartient à [\alpha , \beta] on a |e^{-t} t^{s-1}| \leq e^{-t} (t^{\alpha-1}+t^{\beta-1}) qui est une référence continue par morceaux et R+ intégrable. (Même domination pour la dérivée mais on multiplie par ln(t) qui ne change rien à la R+ intégrabilité)
Gamma est donc dérivable.

Pour la limite, on peut peut être invoquer le critère séquentiel en montrant que \Gamma (n) = (n-1)!


je n'ai pas compris


Posted by: Aspx

Pour la majoration si t<1 ou >1 c'est soit t^(alpha-1) soit l'autre alors on majore par la somme des deux... Pour le reste c'est la validation du théorème de dérivabilité sous l'intégrale.


Posted by: praud

J'ai deja majoré {t^{s - 1} e^{ - t} } de la facon suivante(dans une question précedente)\[{t^{s - 1} e^{ - t} }\]<k/t²(k dependant de s).Je peux m'en servir ou pas.


Posted by: Aspx

Oui à condition que s \rightarrow k soit majorée. Alors on a une majoration intégrable en l'infini (référence de Bertrand).


Posted by: praud

est ce que vous pouvez m'expliquer comment on montre que la limite de la fonction gamma est +l'infini.


Posted by: ThSQ

\Gamma (s) \geq \int\limits_1^{ 2 } {t^{s - 1} e^{ -1 } } \ \rightarrow +\infty


Posted by: Aspx

\large \forall n \in \mathbb{N}, \, \Gamma(n) = (n-1)!
d'où \large \lim_{\tiny n \rightarrow +\infty} \, \Gamma(n) = +\infty
Le critère séquentiel donne le résultat.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Aspx
[Le critère séquentiel donne le résultat.


Tout à fait d'accord mais il faut montrer que la fonction est croissante non ?


Posted by: Aspx

Pourquoi il faudrait montrer qu'elle est croissante ?


Posted by: ThSQ

Ben je sais pas moi, c'est pas parceque f(n) -> +oo quand n € N -> +oo que f(x) -> +oo quand x € IR -> +oo.

f(x) = cos(2*pi*x) * x n'a pas de limite en +oo alors que f(n) = n -> +oo.


Posted by: praud

Citation:
Posté par ThSQ
\Gamma (s) \geq \int\limits_1^{ 2 } {t^{s - 1} e^{ -1 } } \ \rightarrow +\infty

Je n'ai pas compris pourquoi \[<br /> \int\limits_0^{ + \infty } {t^{s - 1} e^{ - 1} \to + \infty } <br /> \]


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par praud
Je n'ai pas compris pourquoi \[<br /> \int\limits_0^{ + \infty } {t^{s - 1} e^{ - 1} \to + \infty } <br /> \]


C'est \int\limits_1^{ 2 } {t^{s - 1} e^{ - 1} <br /> et je suis sûr que ça peut se calculer explicitement !


Posted by: Aspx

Citation:
Posté par ThSQ
Ben je sais pas moi, c'est pas parceque f(n) -> +oo quand n € N -> +oo que f(x) -> +oo quand x € IR -> +oo.

f(x) = cos(2*pi*x) * x n'a pas de limite en +oo alors que f(n) = n -> +oo.

Oui entièrement d'accord excuse moi, j'ai pas montré que toute suite qui tend vers l'infini a une limite... Il faudrait montrer que Gamma est croissante ce qui est évident à partir de x>2 par exemple.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Aspx
excuse moi


Tu es tout pardonné !!


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MPSI* ;-)










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