comment savoir si la limite d'une fonction a deux variable en un point donnée existe et si c'est le cas comment la calculer
en bref comment calculer les limites des fonctions a deux variables
meci d'avance
Posted by: serge75
Tout comme les fonctions d'une seule variable il n'y a pas de méthode toute faite et systèmatique. En général il faut avoir une idée de la limite, qu'on peut obtenir en disant que si f a une limite au point (2,3) (par exemple), alors cette limite L est la limite de la SUITE f(2+1/n,3+1/n).
1er cas : cette suite n'a pas de limite : tu peux conclure que f n'a pas de limite.
2me cas : cette suite a une limite L finie. Tu peux dire que SI f a une limite en (2,3), cette limite est L. Tu majores alors à la main |f(2+h,3+k)-L| par une quantité de limite nulle lorsque (h,k) tend vers (0,0) en utilisant les références suivantes qui ont toutes une limite nulle en (0,0) :
toute fonction g(h) d'une seule variable en h (ou en k) qui tend elle même vers 0 en 0.
toute expression g(||(h,k)||) où g est une fonction d'une seule variable qui est aussi de limite nulle en 0.
Posted by: road runner
peut-tu ,stp, me donner un exemple avec des suites et un exemple pour une autre methode,
merci encore
Posted by: serge75
Soit par exemple à trouver la limite en (1,2) de f définie par .
On est en (1,2) face à une indéterminée du type '0 sur 0' donc les théorème généraux ne permettent pas de conclure.
Je regarde alors , qui est équivalent à 1/n et donc de limite nulle.
J'en déduis : SI f a une limite, c'est 0.
NB : Le même problème aurait pu être posé en prenant f défini comme ci-dessus et f(1,2)=0, en posant la question de la continuité de f en (1,2). La partie précédente n'aurait alors pas lieu d'être car on aurait alors déjà un candidat à la limite, à savoir f(1,2)=0.
Dans un cas comme dans l'autre, reste désormais à regarder si on a bien f de limite nulle en (1,2).
Je cherche alors la majoration : (la norme est ici la norme Euvlidienne, mais tu peux selon les circonstances utiliser celle qui t'arrange le plus).
J'utilise alors l'inégalité , ce qui amène : . Cette dernière quantité est bien de limite nulle ce qui permet de conclure.
Serge
Posted by: road runner
merci beaucoup
j'ai une autre question
comment montrer que
avec Z1 et Z2 deux nombre complexe
Posted by: Mite002
Bonjour,
Réecris le membre de droite au carré développe et conclut!!!
Posted by: road runner
ok c'est bon
merci
Posted by: fahr451
bonsoir
il y a quand même toujours quelque chose de simple à faire c'est regarder la continuité (limite) partielle en fixant une des deux variables
on est ramené à un problème à une variable
Posted by: road runner
pouvez vous m'expliquer comment utiliser le theoreme de la moyenne ci -dessus.
une autre question :si on a par exemple, lim x=>a(lim y=>a f(x,y) est differente de lim x=>a(lim y=>a f(x,y),que peut t'on dire ???
merci d'avance
Posted by: fahr451
1) je ne vois pas le théorème de la moyenne mentionné et pour quel problème
.
, qui est équivalent à 1/n et donc de limite nulle.
(la norme est ici la norme Euvlidienne, mais tu peux selon les circonstances utiliser celle qui t'arrange le plus).
, ce qui amène :
. Cette dernière quantité est bien de limite nulle ce qui permet de conclure.