fonction de 2 variables

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: celian

Bonjour à tous , j'ai l'exercice suivant :

On considère la fonction de 2 variables f définie par f(x,y) = x² + xy + 2y² + ln(2x - y) .

a) quel est le domaine de définition de la fonction f ?

Alors x doit tjs etre supérieur à 0 et y toujours supérieur à 0 , je pense donc que le domaine de définition de cette fonction est le coin supérieur droit d'un repère orthonormé .

b) calculer les dérivées partielles de f au point (1,1) .

Il y a 2 dérivées partielles , voici mes résultats , la premiere :

2x + y + 2/x

la seconde :

x² + x + 4y - 1/y

Il reste encore une petite question mais je préfère déjà me concentrer sur ces 2 là , ne soyez pas trop durs avec moi c'est mon 1er exercice sur les fonctions à plusieurs variables .

Merci du soutien .


Posted by: busard_des_roseaux

le domaine est l'ensemble des points sous la droite d'équation y=2x

Quand on dérive par rapport à x, on considère y comme une constante.

Tes dérivées de logarithmes sont fausses, il faut utiliser la formule de
dérivation d'une fonction composée:


(gof)'=g'of \times f'

Cordialement,


Posted by: celian

pour la domaine de définition là je ne comprends pas , pour cette partie :

x² + xy + 2y² , le df c'est R donc mais il faut prendre en compte :

ln(2x - y) , 2x - y doit etre supérieur à 0 , donc on a :

2x > y , pourquoi les points sont sous la droite y = 2x ?

Ensuite , je dérive par rapport à x , y constant :

2x + y + ln(2 - y ) , excuse moi si j'ai faux mais je vois pas comment dériver ln(a-b) par rapport à a avec b constant .

Je dérive par rapport à y avec x constant :

x² + x + 4y + ln(2x - 1)


Posted by: celian

ah non excuse moi , je me corrige pour mes dérivées


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par celian
Bonjour à tous , j'ai l'exercice suivant :

On considère la fonction de 2 variables f définie par f(x,y) = x² + xy + 2y² + ln(2x - y) .

a) quel est le domaine de définition de la fonction f ?

Alors x doit tjs être supérieur à 0 et y toujours supérieur à 0 , je pense donc que le domaine de définition de cette fonction est le coin supérieur droit d'un repère orthonormé .

Cette fonction a un sens si et seulement si 2x-y est strictement positif.
2x-y=0 nous donne l'équation d'une droite cette dernière partage le plan en deux parties (2 demi-plans) pour savoir quel demi plan on prend un point et on remplace ses coordonnées dans l'inéquation précédente s'il vérifie alors tous les points du même demi plan vérifie cette inéquation et c'est bien le demi-plan cherché (on appelle ce point : point témoin).


Posted by: celian

dérivée par rapport à x , mais ici la dérivée de ln U c'est -U'/U²:

2x + y + (-2 - y) / (2x-y)²

c'est juste ?


Posted by: celian

ok merci xyz j'ai compris pour le domaine de definition .


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par celian
b) calculer les dérivées partielles de f au point (1,1) .
Il y a 2 dérivées partielles , voici mes résultats , la premiere :

2x + y + 2/x

Non, la dérivée de ln(u) c'est u'/u.
Comment vous dérivez 2x-y par rapport à x?
C'est bien : 2. donc la dérivée de ln(2x-y) par rapport à x est :
2/(2x-y).
En total la dérivée partielle par rapport à x est :
2x+y+2/(2x-y)
Citation:
la seconde :
x² + x + 4y - 1/y

Celle par rapport à y est :
x+4y-1/(2x-y).


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par celian
dérivée par rapport à x , mais ici la dérivée de ln U c'est -U'/U²:

2x + y + (-2 - y) / (2x-y)²

c'est juste ?

NON, regardez les messages précédents.


Posted by: celian

Code:
Comment vous dérivez 2x-y par rapport à x?


2 - y , non ?


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par celian
Code:
Comment vous dérivez 2x-y par rapport à x?


2 - y , non ?

Non car
la dérivée de 2x par rapport à x est 2 par contre celle de -y est 0.
Y joue le rôle d'une constante (vous l'avez déjà dit).
Comment vous dérivez 2x-5 par rapport à x?
C'est 2-0.
Comment vous dérivez 2x-7 par rapport à x?
C'est 2-0.
De même pour 2x-y.


Posted by: celian

la dérivée par rapport à x serait pas plutot :

2x+y+(2-y)/(2x-y)


Posted by: celian

exact , désolée on a posté en meme temps , donc les dérivées au point (1,1) sont :

f'(1,1) = 5

f'(1,1) = 4

Dernière question : écrivez l'equation du plan tangent à la surface d'equation z = f(x,y) au point (1,1,4).

Là je souhaiterais une méthode plus qu'une réponse toute faite si possible , merci .


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par celian
la dérivée par rapport à x serait pas plutot :

2x+y+(2-y)/(2x-y)

Non tout simplement par ce que vous n'avez pas dérivé le y par rapport à x, sa dérivée est 0.


Posted by: celian

j'ai posté un message avant , désolée c'est pas pratique on poste en meme temps ya certains messages zappés lol


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par celian
Dernière question : écrivez l'equation du plan tangent à la surface d'equation z = f(x,y) au point (1,1,4).

Là je souhaiterais une méthode plus qu'une réponse toute faite si possible , merci .

L'équation du plan tangent à une surface d'équation z=f(x;y) est donnée par :
z=z_0+(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+(y-y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+(z-z_0)\frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0) avec z_0=f(x_0;y_0)Sauf erreur.


Posted by: celian

xyz voici ma réponse pour l'equation du plan :

z = 4 + 2x² + 4y² + 2(xy) + 2x/(2x-y) - y/(2x-y)


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par celian
xyz voici ma réponse pour l'equation du plan :

z = 4 + 2x² + 4y² + 2(xy) + 2x/(2x-y) - y/(2x-y)

Mais non,
L'équation du plan est de la forme :
ax+by+cz=0, y a pas de carré ni quotient.


Posted by: celian

j'ai refait mes calculs , je détaille :

z = (a,b) + (x-a)df/dx (a,b) + (y-b)df/dx (a,b) , avec a et b = 1 .

4 + (x-1)*5 + (y-1)*4 , j'ai donc :

5x + 4y - 5 = z

5x + 4y - z - 5 = 0 .


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par celian
j'ai refait mes calculs , je détaille :

z = (a,b) + (x-a)df/dx (a,b) + (y-b)df/dx (a,b) , avec a et b = 1 .

4 + (x-1)*5 + (y-1)*4 , j'ai donc :

5x + 4y - 5 = z

5x + 4y - z - 5 = 0 .

Au lieu de (a,b) il fallait mettre f(a;b).
Si les valeurs de df/dx et df/dy (j'ai pas vérifié les calculs) alors c'est bien ça.
Comparez votre dérnière réponse avec celle dans le message précédent!


Posted by: celian

merci bcp pour ton aide xyz , je continuerai mes exercices car bcp de choses sont encore floues pour moi , par exemples ici je sais que c'est une fonction de valeurs R² à valeurs dans R^n , mais combien vaut n , 1 , 2 , 3 ?


Posted by: xyz1975

Lorsqu'on vous demande de calculer par exemple f(1;0) qu'est ce que vous trouvez?
Un nombre réel, ou un couple(a;b) ou alors un triplet?
J'aimerai avoir une réponse.


Posted by: xyz1975

Je réponds alors :
Il est clair que pour (x;y) dans IR² on a f(x;y)=...... un réel donc
f : IR² ------------>IR
(x;y)|----------> f(x;y)










-