Mathématiques - fonction de 2 var

fonction de 2 var
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Posted by: dilzydils

bonjour

Je dois trouver l'eventuel limite en (0,0) de f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4).
Je pense que c'est 0 mais j'arrive pas à prouver.
Merci

Posted by: nekros

Salut,

Je n'ai qu'abordé les fonctions de deux variables, donc c'est juste une idée :

On a $3$f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^4}$

On a $3$f(x,0)=0--->0$ quand $3$x$ tend vers $3$0$
On a $3$f(0,y)=0--->0$ quand $3$y$ tend vers $3$0$

On pose $3$f(0,0)=0$

Ensuite, il faut montrer que $3$|f(x,y)-f(0,0)| \le g(N)$ où $3$\lim_{t \to 0} g(t) =0$ et $3$N=N_{*}(x,y)$ ( $3$N$ est une norme)

Au fait, au démoninateur, c'est bien $3$y^4$ ?
Thomas G

Posted by: dilzydils

oui c'est bien y^4

Posted by: kms040584

Salut,
non, il ne suffit pas de faire tendre x et y séparement vers 0 pour trouver la limite, mais il faut faire tendre le couple (x,y) vers (0,0).
Ici, je pense qu'en utilisant différents chemins, on peut prouver qu'elle n'existe pas.
Par exemple en prenant $y=x^3$ , qui est bien continue, qui tend vers 0 quand x->0, etc...
tu as : $f(x,x^3)=x^7 / (x^2+x^12)$ qui n'a pas de limite finie en (0,0)
et en prenant $y=x$ , tu as $f(x,x)=x^3/(x^2+x^4)$ qui tend vers 0.
Or si il y avait une limite en (0,0), elle serait la même quelque soit le "chemin d'approche."
Donc y'a pas de limite.

K.

Posted by: alben

Bonjour,
Je ne pense pas que ça puisse marcher, il suffit de prendre pour tout y petit un x égal à ky² qui sera également très petit. Pourtant f(x,y) sera égal à k/(1+k²) clairement différent de zéro.
Par exemple avec k=1, on trouve f(x,y)>=0,5
Plus rigoureusement, ce raisonnement doit te permettre de démontrer que la fonction n'a pas de limite en (0,0)
ps :télescopage !

Posted by: dilzydils

kms040584: f(x,x^3) tend vers 0: factorise par x^2.
alben: je doute que ton truc soiit juste, d'ailleurs j'arrive à prouver que f(x,y)<=1/2 car (x-y^2)^2=x^2+y^4-2xy^2>=0

Posted by: nekros

Citation:

Posté par kms040584

Salut,
non, il ne suffit pas de faire tendre x et y séparement vers 0 pour trouver la limite, mais il faut faire tendre le couple (x,y) vers (0,0).
Ici, je pense qu'en utilisant différents chemins, on peut prouver qu'elle n'existe pas.
Par exemple en prenant $y=x^3$ , qui est bien continue, qui tend vers 0 quand x->0, etc...
tu as : $f(x,x^3)=x^7 / (x^2+x^12)$ qui n'a pas de limite finie en (0,0)
et en prenant $y=x$ , tu as $f(x,x)=x^3/(x^2+x^4)$ qui tend vers 0.
Or si il y avait une limite en (0,0), elle serait la même quelque soit le "chemin d'approche."
Donc y'a pas de limite.

K.

Salut kms040584,

Le quotient tend vers 0 quand x tend vers 0.

Thomas G

Posted by: nekros

Pourquoi ne pas utiliser une caractérisation séquentielle, ou déterminer la limite de $3$f(h,th)$ quand $3$h$ tend vers $3$0$ ?

On trouve que $\fbox{3$\lim_{h \to 0} f(t,ht) = 0=f(0,0)}$ .

Donc $3$f$ est bien continue en $3$(0,0)$ , non ?

Thomas G

Posted by: kms040584

euh, pour le calcul de f(x,x^3), je vois pas trop comment tu obtiens ca...
ensuite excuse pour la limite... j'abuse un peu beaucoup! on va dire que c'est vendredi

en revanche en prenant $y=x^0.5,$
on a:
$f(x,x^1/2)=x^2/(x^2+x^2)=1/2$ non?

Posted by: dilzydils

nekros, je crois pas que ton truc marche parcke tes 2 variables sont liées alors qu'elles peuvent varier indépendemment l'1 de l'autre...

Posted by: aviateurpilot

$f(x,y)=\frac{(xy)^2}{x^2+x^4}$ ?

je ne connais pas les fonctions avec 2 variable
mais je pense que si f a la meme limite que $f_1(x)=f(x,x)=\frac{x^4}{x^2+x^4}$ en 0
c'est 0.

Posted by: nekros

kms, désolé pour le calcul, t'as raison, on va dire que c'est la chaleur

Thomas G

Posted by: aviateurpilot

si $f(x,y)=\frac{y^2x}{x^2+y^4}$
la methode de kms040584 est vraie

Posted by: kms040584

lol, oui!
en revanche, quant a mon raisonnement, c'est très souvent comme cela qu'on prouve qu'une fonction n'a pas de limite. On cherche deux fonctions y=f1(x) et y=f2(x) avec les limites de f1 et f2 égale à 0 en 0 (dans ce cas), tel que f(x,f1(x)) et f(x,f2(x)) n'ont pas la meme limite. En revanche, la reciproque est fausse. Trouver une limite à f(x,f1(x)) ne signifie pas que la fonction f(x,y) à une limite en (0,0). C'est pour cela que ton f(h,th) n'est pas suffisant.

Posted by: nekros

Ok,

Tu sais j'en ai pas fait souvent.
Pour compléter ma méthode, on peut aussi utiliser une caractérisation séquentielle...

Mais n'oublions pas que : Ce n'est qu'en essayant continuellement, que l'on finit par réussir
Ou, en d'autres termes : plus ça rate, plus on a de chance que ça marche....

Thomas G

Posted by: aviateurpilot

f (definie sur R² ) a le meme comportement de g (definie sur $R\times R^+$ )
avec $g(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$

Posted by: nekros

Si c'est le cas, je vais essayé de me faire la main...

On considère $3$g(x)=\frac{xy}{x^2+y^2}$

Les applications partielles $3$f(x,0)$ et $3$f(0,y)$ sont nulles donc continues.

Or, $3$f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\frac{1}{2}$ pour tout $3$n$ dans $3$\mathbb{N^*}$

On a donc $3$\lim_{n \to +\infty} f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\frac{1}{2} \neq f(0,0)$
Ceci contredit donc la caractérisation séquentielle de la continuité et donc $3$g$ n'est pas continue en $3$(0,0)$

Donc pas de limite en $3$(0,0)$

Quelqu'un peut-il confirmer (ou infirmer)

Thomas G

Posted by: kms040584

Comment définis-tu ton f(0,0)?

Posted by: nekros

Arf oui,
Si l'énoncé proposait : est-ce qu'on a f(0,0)=0 ?
Là ça aurait été correct, et ça devient un raisonemment par l'absurde en supposant que f(0,0)=0

Thomas G

Posted by: aviateurpilot

c comme si tu travail avec un seul variable
je pense que ce que tu as fait est faux

Posted by: nekros

Non je crois que c'est correct : on utilise la caractérisation séquentielle.

Thomas G

Posted by: kms040584

pourquoi 0?
Souvent on pose f(0,0) quand la fonction est prolongeable en 0.
Sinon je prends f(x)=x sur R\0 ( de même l'autre fonction n'était pas définie en (0,0) )
Et je pose f(0)=1.
on a f(1/n) -> 0 quand n -> oo
donc lim f(1/n) différent de 0
etc..?
et on trouve que f n'a pas de limite en 0... bizarre nan?

Posted by: nekros

kms, j'ai modifié mon post précédent de 16h43 et je le rappelle, j'essaie de comprendre quitte à passer pour un c**

Thomas G

Posted by: kms040584

Citation:

Posté par nekros

Non je crois que c'est correct : on utilise la caractérisation séquentielle.

Thomas G

Oui cela marche. Mais cela revient exactement à trouver les fonctions f1 et f2 dont je parlais tout a l'heure... en gros tu trouve deux suites (1/n,0) et (1/n,1/n) qui ne tombe pas sur la meme limite...

Posted by: kms040584

Citation:

Posté par nekros

kms, j'ai modifié mon post précédent de 16h43 et je le rappelle, j'essaie de comprendre quitte à passer pour un c**

Thomas G

Scuse, je il n'y avait aucune méchanceté dans mon post!! j'ecrivais le post quand tu l'as modifié et je voulais juste montrer que le raisonnement pouvait donner un truc bizarre avec une fonction simple comme y=x.
Voili :)

Allez bon WE les gars. Travaillez pas trop quand meme, c'est les vacances!

Posted by: nekros

Désolé kms, jme suis emporté comme un c**

En plus tu m'as appris plein de trucs. Je comprends mieux !

Sans rancune.

Thomas G

Posted by: mathématicien arabe

salut a vs tous . il faut d abord raisonner sur les fcts partielles qui sont evidement nulles donc continues , ce qui implique directement que les restrictions de F aux axes (OX) et (OY) sont continues en (0.0). Mais ceci n assure guérre que F est continue.Au contraire F n est pas continue puiseque pour X différent de 0 et Y=X au carré on a F(X.X au carré)= 1/2 Ce qui vx dire que la restriction de F au parabole n est^pas continue et par suite F n est pas continue en (0.0). J espére bien que j ai pas comis de conneries parce ce fameux calcul diff a été ignoré chez nous...

Posted by: alben

Bonsoir,

A la réflexion, il me semble que ce fil mérite une conclusion car la fonction est assez exemplaire : elle est bornée, pour tout couple (x,y) sa valeur est comprise entre 0 et 0,5, elle est définie en tout point sauf (0,0) et n'est pas continue en ce dernier point.
Ce qui est remarquable c'est que si l'on fixe R aussi petit que l'on veut, l'image de f est [0,5] : f([-R,R]x[-R,R])=[0,1/2], autrement dit toutes les valeurs de 0 à 0.5 sont atteintes par au moins un couple (x,y) tel |x|<R et |y|<R.

C'est un très beau contre-exemple.

Posted by: mathelot

$$$$$$$$$$

Posted by: Francky_greg

Vos réponses sont effrayantes, et feraient fuire tout nouvel étudiant

(j'ai pas dit que c'était faux :p )

Ce que je fais pour résoudre cela :

Tout d'abord, vérifie sur la limite a la même valeur sur différents chemins.

Soit x = y².

Tu auras donc comme limite: Lim x-->0 x² / 2x² --> ce qui donne 1/2.

Tu essayes un autre chemin (cela doit toujours etre sur le même plan !!!).

Soit x=y

Tu auras donc comme limite: Lim x-->0 x³ / (x² + x^4)),
soit Lim x-->0 x / (1+x²) --> ce qui donne 0.

Les deux limites ne sont pas identiques, donc la limite n'existe pas, et tu viens de le prouver.

ps: y a peut etre une erreur.... mais c'est la méthode qu'on utilise pour les limitesà deux variables..... Si tu arrives à une même valeur pour différents chemins (la limite devrait exister, mais pas sur !!!!) tu dois utiliser alors le théorème de coinçage. Tu majores à gauche et à droite, tu calcules les limites qui entourent ta limite initiale. Si elles valent toutes deux 0, tu déduis avec quasi certitude que la limite initiale tend vers 0. (ou 1/2, ou 7, ou n'importe).

Posted by: Francky_greg

Citation:

Posté par mathématicien arabe

salut a vs tous . il faut d abord raisonner sur les fcts partielles qui sont evidement nulles donc continues , ce qui implique directement que les restrictions de F aux axes (OX) et (OY) sont continues en (0.0). Mais ceci n assure guérre que F est continue.Au contraire F n est pas continue puiseque pour X différent de 0 et Y=X au carré on a F(X.X au carré)= 1/2 Ce qui vx dire que la restriction de F au parabole n est^pas continue et par suite F n est pas continue en (0.0). J espére bien que j ai pas comis de conneries parce ce fameux calcul diff a été ignoré chez nous...

Bah, je viens d'expliquer plus clairement ce que tu as dit

Posted by: kazeriahm

bah en gros c ce que tout le monde dit... il y avait deja eu un post la dessus