>Bonjour,
>
>soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
>
>pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
>
une idée
as-tu essayé de
considérer la série
v_p= somme des (mn)^(-a)*(m+n)^(-b)avec m+n=p
ca marche pour le cas a=0 (dans ce cas il faut b>2)
mais là......
et c'est bien loin pour moi
>
>
>
>
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Pichereau Alain
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"Wenceslas" <navilys2001@aol.com> a écrit dans le message de news:
> soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
> pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
t'es sûr que ça n'a pas de rapport avec les questionns "précédentes" ?
parce que si tu sors juste une question d'uen épreuve comme ça, ça peut être
coriace...
je vais relire l'épreuve de Centrale en entier pour voir
Posted by: zwim
Le 05 May 2004 18:37:28 GMT, Wenceslas à écrit
>Bonjour,
>
>soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
>
>pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
>
>merci
Posons :
u(m,n) = (mn)^(-a)*(m+n)^(-b)
Déjà on a u(m,n) > 0 qqs m,n
Condition suffisante :
mn > n
(m+n) > n
donc u(m,n) < 1/n^(a+b) dont la série CV ssi a+b > 1
Condition nécessaire :
S = S(1,n>=1) + S(m>=2,n>=1) séries à termes positifs donc
> S(1,n>=1)
u(1,n) = 1/n^a * 1/(n+1)^b ~ 1/n^(a+b) dont la série CV ssi a+b > 1
Bah voilà, c'est fini...
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...
Posted by: zwim
Le Thu, 06 May 2004 21:27:19 +0200, zwim à écrit
>Le 05 May 2004 18:37:28 GMT, Wenceslas à écrit
>>Bonjour,
>>
>>soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
>>
>>pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
>>
>>merci
>
>Posons :
>
>u(m,n) = (mn)^(-a)*(m+n)^(-b)
>
>Déjà on a u(m,n) > 0 qqs m,n
>
>
>Condition suffisante :
>
>mn > n
>(m+n) > n
>
>donc u(m,n) < 1/n^(a+b) dont la série CV ssi a+b > 1
oouups, oublié la double sommation,
mn > n
(m+n) > m
donc u(m,n) < 1/n^a * 1/m^b dont la série double CV ssi a>1 et b>1
>Condition nécessaire :
>
>S = S(1,n>=1) + S(m>=2,n>=1) séries à termes positifs donc
> > S(1,n>=1)
>
>u(1,n) = 1/n^a * 1/(n+1)^b ~ 1/n^(a+b) dont la série CV ssi a+b > 1
>
>
>Bah voilà, c'est fini...
pas encore malheureusement...
reste à étudier les cas a<=1, b<=1 avec a+b>1.
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...
Posted by: zwim
Le 05 May 2004 18:37:28 GMT, Wenceslas à écrit
>Bonjour,
>
>soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
>
>pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
>
>merci
Soit f(x,y) = (xy)^(-a)*(x+y)^(-b)
f(x,.) est >0 continue décroissante sur [1,+oo[
f(.,y) est >0 continue décroissante sur [1,+oo[
x et y étant symétriques, tu peux sommer d'abord sur x ou d'abord sur
y, peu importe, ça ne changera pas la nature de l'intégrale, et par le
théorème de Fubini, ce sera la nature de I(a,b).
donc par majoration triviale CV pour a=1 et b>=1 et aussi pour a=1 et
b>=1.
Reste les cas a<1 ou b<1, avec toujours a+b>1
Je ne vois pas vraiment de méthode simple...
Une idée ?
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...
Posted by: Wenceslas
>f(m+1,n+1) <= int(x=m..m+1,y=n..n+1, f(x,y) dxdy) <= f(m,n)
>
>et que par conséquent la série double sur IN*xIN* et l'intégrale sur
>[1,+oo[x[1,+oo[ sont de même nature
>
>Reste donc à étudier
>
>I(a,b) = int(x=1..+oo,y=1..+oo, (xy)^(-a)*(x+y)^(-b) dxdy)
>
>x et y étant symétriques, tu peux sommer d'abord sur x ou d'abord sur
>y, peu importe, ça ne changera pas la nature de l'intégrale, et par le
>théorème de Fubini, ce sera la nature de I(a,b).
>
>On peut donc se ramener à l'étude de
>
>J(a,b) = int(x=1..+oo, int(y=1..+oo, y^(-a)*(x+y)^(-b) dy) x^(-a) dx)
>
>Bonjour les intégrations par parties...
>
>Les cas a>1 et b>1 étant réglés par l'étude directe de la série
>double, étudions par exemple a=b=1.
>
>J(1,1)
>= int(x=1..+oo, int(y=1..+oo, 1/y(x+y) dy) 1/x dx)
>= int(x=1..+oo, int(y=1..+oo, 1/y - 1/(x+y) dy) 1/x² dx)
>= int(x=1..+oo, [y=1..+oo, -ln(1+x/y)] 1/x² dx)
>= int(x=1..+oo, ln(1+x)/x² dx) CV (car ln(1+x)/x² < x^(-3/2))
>
>La série double CV pour a=1 et b=1
>
>donc par majoration triviale CV pour a=1 et b>=1 et aussi pour a=1 et
>b>=1.
>
>Reste les cas a<1 ou b<1, avec toujours a+b>1
>Je ne vois pas vraiment de méthode simple...
euh ouais, je comprends pourquoi je n'ai pas répondu à cette question