salut
comment faire pour montrer q'une famille de vecteurs est libre ou generatrice ex:v1=(1,1,-1) v2=(2,1,3) v3=(0,-1,5) et merci
Posted by: Rain'
Libre : on suppose qu'elle ne l'est pas. C'est à dire qu'il existe a,b,c tels que av1+bv2+cv3 = 0 et on cherche à montrer que (a,b,c) = (0,0,0).
Génératrice : Soit par dimension une fois qu'on a montré que la famille est libre et qu'elle a le bon cardinal.
Sinon on prend un élément x quelconque de E et on montre qu'il existe(a,b,c) tel que x = av1+bv2+cv3
Posted by: no_algebre
je n'ai pas compri tu peux presiser
Posted by: no_algebre
ah c'est bon merci beacoups
Posted by: no_algebre
merci pour l'explication
Posted by: no_algebre
j'ai compri mais comment avec la dimonsion
Posted by: Rain'
Tu as déjà vu ce qu'est une base d'un espace vectoriel ?
Posted by: no_algebre
non si tu peux m'expliquer je serai trés reconaison
Posted by: Rain'
Une base, c'est une famille libre et génératrice.
Son cardinal c'est le même que la dimension de l'espace vectoriel en question.
Dans ton exemple tu as un espace de dimension 3.
On montre facilement que toute famille libre est de cardinal inférieur ou égal à 3, et que toute famille génératrice est de cardinal supérieur ou égal à 3.
On démontre aussi que toute famille de 3 éléments est une base si et seulement si elle est génératrice ou libre.
En gros si tu as le bon nombre de vecteurs tu as les équivalences suivantes :
la famille est libre <=> la famille est une base <=> la famille est génératrice.
