faiblement derivale

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: smooth5185

Bonjour a tous,
au fait j'ai un probleme d'application du theoreme de la derivée faible:
En effet comment montrer que la fonction f(x) = |x| est faiblement derivable, et ainsi calculer sa derivee faible?
Merci beaucoup et a bientot.


Posted by: smooth5185

En fait je pense qu'il faudrait trouver la fct f' appartenant a L1,loc qui verifirai la definition.


Posted by: tize

Bonjour,
il me semble que la dérivée faible est g(x)=\left{\matrix 1.. si x\geq 0\\-1.. sinon\matrix.
Elle vérifie pour tout \varphi C^\infty à support compact :
\int f.\varphi^' = -\int g.\varphi


Posted by: smooth5185

ouai je pense que c'est bien ca,
merci bien
par contre j'ai un autre probleme:

Montrer que la fonction de Heaviside (fonction indicatrice de R+) est faiblement derivable?
ie que l'on peut montrer qu'elle appartient a Hs(R) mais comment ?
Merci


Posted by: rifly01

Bonjour,

Une forme condensée : f'(x)=\frac{x}{|x|}


Posted by: tize

Je pense plutôt que c'est le Delta de Dirac : \delta


Posted by: smooth5185

ok merci,
mais comment faire pour mq la fct indicatrice de1 R+ est faiblement derivable ?


Posted by: tize

Soit \varphi C^\infty a support compact dans [a;b].
\int H(x)\varphi'(x)dx=\int_0^b \varphi'(x)dx si b>0 sinon ça fait 0.
Donc :
\int H(x)\varphi'(x)dx=\int_0^b \varphi'(x)dx=\varphi(b)-\varphi(0)=-\varphi(0) car \varphi(b)=0
or -\varphi(0)=-\int\delta\varphi


Posted by: smooth5185

ok j'ai bien compris ton raisonnement mais juste pk fi(b)=0 ?
merci.


Posted by: kazeriahm

parce que phi s'annule en dehors de [a,b] et est continue










-