Mathématiques - La face cachée de l'iceberg

La face cachée de l'iceberg
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Posted by: entropik

Bonsoir,
J’ai trouvé 3 manières de résoudre cet exercice, les 2 dernières concordent mais j’obtiens une différence d’un rapport de presque 2 avec la première.
Un iceberg de masse volumique $\rho = 920 \frac{kg}{m^3}$ flotte dans de l'eau de mer dont la $\rho = 1025 \frac{kg}{m^3}$ avec un volumé émergé de $10^6 m^3$ . Quelle est sa masse totale?

$1^{ere}$ méthode: j'établis l'équation des forces:
$\vec{P_A}-\vec{P_T} = \vec{P_e}$
où $\vec{P_A}$ est la poussée d'Archimède
$\vec{P_T}$ est le poids total de l'iceberg
$\vec{P_e}$ est le poids du volume émergé
donc $\rho_{eau}.V_i.g-\rho_{glace}.V_T.g = 920.10^6.9,81 N$
où $V_i$ est le volumé immergé
ce qui donne: $10\ 055,25V_i-9025,2V_T = 9025,2.10^6 N$
or $V_i = (V_T-10^6) m^3$
$10\ 055,25V_T-10\ 055,25.10^6-9025,2V_T = 9025,2.10^6 N$
$1030,05V_T = 19\ 080,45.10^6 N$
$V_T = \frac{19\ 080,45.10^6}{1030,05} = 18\ 523\ 809,52 m^3$
Donc la masse totale est de $18\ 523\ 809,52.920 = 17\ 041.10^6 kg$ soit $17,041.10^9 kg$
Ici la masse du volume émergé est de 5,3984% par rapport à la masse totale.

$2^{eme}$ méthode: je fais le rapport des masses volumiques:
$\frac{920}{1025} = 89,756%$
Ainsi on sait que le volume émergé représente 10,243% du volume total.
1% du volume total représente $\frac{10^6}{10,243} = 97\ 619,047 m^3$
Le volume total est donc de $9\ 761\ 904,762 m^3$
$m_T = 9\ 761\ 904,762.920 = 8\ 980\ 952\ 381 kg$ soit $8,980.10^9 kg$

$3^{eme}$ méthode : je cherche le volume total lorsque la force de l'iceberg est égale à celle du volume déplacé.
$\rho_{glace}.V_T.g = \rho_{eau}.(V_T-10^6).g$
$9025,2.V_T = 10 055,25V_T-10 055,25.10^6$
donc $V_T = \frac{10 055,25.10^6}{1030,05} = 9\ 761\ 904,762$
et $m_T = 8\ 980\ 952\ 381 kg$

Pourriez-vous m’indiquer quel est le problème avec la première équation ? Merci d’avance

Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:

Posté par entropik

Bonsoir,
J’ai trouvé 3 manières de résoudre cet exercice, les 2 dernières concordent mais j’obtiens une différence d’un rapport de presque 2 avec la première.
Un iceberg de masse volumique http://www.maths-forum.com/images/l...0f8598dbf51.gif flotte dans de l'eau de mer dont la http://www.maths-forum.com/images/l...244286d1d56.gif avec un volumé émergé de http://www.maths-forum.com/images/l...f6e28e4cd0c.gif. Quelle est sa masse totale?

http://www.maths-forum.com/images/l...6cfeb2cd510.gif méthode: j'établis l'équation des forces:
http://www.maths-forum.com/images/l...9a5a361dba8.gif
où http://www.maths-forum.com/images/l...10d0c9f2d70.gif est la poussée d'Archimède
http://www.maths-forum.com/images/l...044c9268911.gif est le poids total de l'iceberg
http://www.maths-forum.com/images/l...f3d2ec54770.gif est le poids du volume émergé
donc http://www.maths-forum.com/images/l...3d921f24a51.gif
où http://www.maths-forum.com/images/l...c97ae7db5e3.gif est le volumé immergé

Bonsoir,

A l'équilibre, ton équation est fausse! la poussée d'Archimède compense exactement le poids total de l'iceberg et donc Pa = rho(eau)*Vi*g = rho(glace)*Vt*g .

Si tu fais le calcul, tu retombes sur tes résultats...

Posted by: entropik

Oui mais je pensais que lorsque la poussée d'Archimède compensait totalement le poids d'un objet, celui-ci se trouvait totalement immergé mais juste en dessous de la surface du fluide. Je pensais donc que pour qu'un objet ait un volume émergé, il fallait que la force d'Archimède soit supérieure à sa masse totale d'une valeur équivalente au poids du volume émergé. Mais visiblement je me trompais.

Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:

Posté par entropik

Oui mais je pensais que lorsque la poussée d'Archimède compensait totalement le poids d'un objet, celui-ci se trouvait totalement immergé mais juste en dessous de la surface du fluide. Je pensais donc que pour qu'un objet ait un volume émergé, il fallait que la force d'Archimède soit supérieure à sa masse totale d'une valeur équivalente au poids du volume émergé. Mais visiblement je me trompais.

A l'équilibre, la poussée d'Archimède et le poids se compensent et l'objet est immobile dans le champ de pesanteur. La proportion du corps qui reste émergée dépend du rapport des masses volumiques entre le liquide et l'objet.

Pour t'en convaincre, essaye de t'imaginer te baignant dans l'atlantique à Brest et dans la mer Morte. Dans les deux cas, tu surnageras mais beacoup plus dans la mer Morte dont la densité est élevée que dans la rade de Brest...

Posted by: entropik

Merci, c'est tout simple en fait, je m'obstinais encore à chercher des équations compliquées

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