Extremum

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Posted by: Sylar

Bonsoir,quelqu'un aurait-il une idée sur cet énoncé:

f:R^n-->R ,continue ,telle que,pour tout a appartenant a R,f^(-1){a} est compact dans R^n ,admet-elle un extremum global ?


Posted by: Sylar

Pas d'idées ?


Posted by: Alexandre le Grand

Avec n=1 et f=Id on a un contre-exemple si je ne m'abuse.
Maintenant pour le cas général, il faut sans doute essayer par l'absurde...
(oui je sais, je suis inutile )


Posted by: Sylar

Pourrais-tu préciser s'il te plait ?


Posted by: nuage

Salut,
une idée de démonstration pour n\geq 2.

-- On sait que f^{-1}(a) est compact il est donc borné.

-- on considère dans E=\mathbb{R}^n la boule de centre O et de rayon r=\max || f^{-1}(a)|| elle est bien définie car la norme est continue.

--l'image de la boule de rayon r est un intervalle fermé borné disons [b;c] contenant a.

--le complémentaire de la boule de rayon r est connexe (c'est le point clé).
Son image par f qui est continue est donc connexe.
Elle est donc incluse soit dans \]-\infty ; b [ soit dans ]c ; +\infty[

reste à conclure.

Modification Remplacer b et c par a dans le dernier point :
Elle est donc incluse soit dans \]-\infty ; a [ soit dans ]a ; +\infty[

Un excès d'optimisme m'a pris hier soir.










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