extrema, fonction de 2 variables

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Posted by: trocho

Bonjour.

Je dois déterminer les extrema d'une fonction toute bête:
f(x,y)=x²+y²

mais sur l'ensemble S={(x,y)∈R² | g(x,y)=x^4 + y^4 -1 = 0}

Pour répondre, j'ai d'abord dit que g(x,y)=0 équivaut à
x^4=1-y^4

et donc x²=(1-y^4)^(1/2)

Je remplace dans f, et là, je dis que trouver les points critiques de f équivaut à trouver les y pour lesquels la dérivée de la fonction
h(y)=(1-y^4)^(1/2)+y²
s'annule.

Alors, je vous fais grâce de mes calculs, et je trouve 3 solutions possibles pour y: -(2^(-1/4)); 0; 2^(-1/4)
A partir de là, on trouve 2 possibilités pour x, une positive, et une négative. Donc 6 points.

Le problème, c'est que je ne suis pas sûr d'utiliser une méthode convenable (même pas sûr du tout), et surtout qu'ensuite, je ne sais pas vraiment comment montrer si ce sont des extrema ou non.

P.S. Désolé pour les puissances, mais je ne sais pas trop encore comment insérer les belles formules avec de racines quatrièmes...


Posted by: uztop

Bonjour,
je ne suis pas sur de pouvoir beaucoup t'aider mais bon, je vais essayer.

x²=(1-y^4)^(1/2)
n'est vrai que pour |y|<=1 en effet x² prend des valeurs reelles
Il faut donc considerer deux valeurs formules pour la fonction h(y) selon la valeur de |y|


Posted by: abcd22

Bonjour,
C’est un problème d’extrema liés, vous avez vu le théorème des extrema liés ?


Posted by: trocho

Ah oui, j'ai vu ça mais j'avais déjà oublié... Honte à moi.

J'avoue que j'ai un peu de mal à bien comprendre.
Dans mon cours, il est question de fonction de Lagrange. Si je comprends bien, je dois introduire la fonction

psi(x,y,t)=x²+y²+t(x^4+y^4-1)

et je dois trouver t0 tel que les dérivées partielles par rapport à x et y soient nulles en un point (a,b).

Alors la dérivée de psi par rapport à x est:
2x+4tx^3
et par rapport à y:
2y+4ty^3

Donc on doit résoudre ce système:
2x(1+4tx²)=0
2y(1+4ty²)=0

Mais ce que je ne saisis pas vraiment, c'est que le système a en fait 3 inconnues...

Et puis je ne sais pas si psi doit être égale à
psi(x,y,t)=x²+y²+t(x^4+y^4-1)
ou à
psi(x,y,t)=x²+y²+t(x^4+y^4)

J'ai un peu de mal parce que j'ai le cours, mais je n'ai encore jamais vu d'exercice là-dessus...

Que dois-je faire maintenant?

Merci en tout cas de m'avoir dit quelle partie du cours je devais revoir...


Posted by: Maxmau

Citation:
Posté par trocho
Bonjour.

Je dois déterminer les extrema d'une fonction toute bête:
f(x,y)=x²+y²

mais sur l'ensemble S={(x,y)∈R² | g(x,y)=x^4 + y^4 -1 = 0}

Pour répondre, j'ai d'abord dit que g(x,y)=0 équivaut à
x^4=1-y^4

et donc x²=(1-y^4)^(1/2)

Je remplace dans f, et là, je dis que trouver les points critiques de f équivaut à trouver les y pour lesquels la dérivée de la fonction
h(y)=(1-y^4)^(1/2)+y²
s'annule.

Alors, je vous fais grâce de mes calculs, et je trouve 3 solutions possibles pour y: -(2^(-1/4)); 0; 2^(-1/4)
A partir de là, on trouve 2 possibilités pour x, une positive, et une négative. Donc 6 points.

Le problème, c'est que je ne suis pas sûr d'utiliser une méthode convenable (même pas sûr du tout), et surtout qu'ensuite, je ne sais pas vraiment comment montrer si ce sont des extrema ou non.

P.S. Désolé pour les puissances, mais je ne sais pas trop encore comment insérer les belles formules avec de racines quatrièmes...



Je rappelle sur cet exemple la méthode des multiplicateurs de Lagrange
Si f présente un extremum sur S en (x,y) alors, en ce point, df (différentielle de f) est proportionnelle à dh : df = tdh ( une seule contrainte donc un seul multiplicateur t ; pour k contraintes on écrirait que df est une combinaison linaire des différentielles des contraintes et on aurait k coefficients multiplicateurs).
df = 2xdx + 2ydy ; dh = 4x^^3 dx + 4y^3 dy
La proportionnalité de df et dh se traduit par : xy^3 – yx^3 = 0
Et il ne faut pas oublier que (x,y) est dans S d’où le système :
xy^3 – yx^3 = 0 et x^4 + y^4 -1 = 0
pour chaque solution (x,y) de ce système on calcule f(x,y)

Il n’est pas toujours évident de préciser la nature des points obtenus( minimum, maximum, absolu, relatif ?). On se débrouille … Bien souvent le théorème suivant est bien utile : S est un fermé borné (compact) et f est continue sur S donc f admet une valeur maximum M et une valeur minimum m. Le (ou les) point (x,y) de S où M est atteint par f est une solution du système ci-dessus (même remarque pour le minimum). Je pense qu’il est alors très facile de conclure.

Une dernière remarque: pour (x,y) dans S on a : (x²+y²)² = 2x²y² +1. On peut tirer de cette remarque une solution élémentaire. Par exemple : si (x,y) est dans S alors x²+y² >= 1 .etc..

Bon courage


Posted by: trocho

merci Maxmau pour toutes ces précisions.

Je trouve donc 8 points critiques:
(0,+-1)
(+-1,0)
(+-1/(2^(1/4)),+-1/(2/(1/4)))

Mais d'après ce que tu dis (tu? vous? Quels sont les règles du forum là-dessus?), tous ces points sont des extrema?

En utilisant la méthode de mon cours, je ne trouve que des points selle (ce qui m'inquiête un peu...)


Posted by: Maxmau

Citation:
Posté par trocho
merci Maxmau pour toutes ces précisions.

Je trouve donc 8 points critiques:
(0,+-1)
(+-1,0)
(+-1/(2^(1/4)),+-1/(2/(1/4)))

Mais d'après ce que tu dis (tu? vous? Quels sont les règles du forum là-dessus?), tous ces points sont des extrema?

En utilisant la méthode de mon cours, je ne trouve que des points selle (ce qui m'inquiête un peu...)


points selle ?? les points selles, c'est sur une surface
Je reprends tes résultats:
f(0,+-1) = f(+-1,0) = 1
f(+-1/(2^(1/4)),+-1/(2/(1/4)))= 2^(1/2) qui est supérieur à 1
Or f continue sur le compact S admet une valeur max M et une valeur min m sur S (nécessairement en l’un des 8 points)
On a donc nécessairement : M = f(+-1/(2^(1/4)),+-1/(2/(1/4)))= 2^(1/2)
Et m = f(0,+-1) = f(+-1,0) = 1


Il y a aussi une solution élémentaire en utilisant les coordonnées polaires
( ρ,θ)
L’équation de S en coordonnées polaires s’écrit :
ρ² = [1 – (1/2)sin²(2θ)]^(-1/2)
En étudiant les variations de cette dernière fonction (on se restreint à θ dans [0,π/2] ) on retrouve que ρ² admet un min égal à 1 et un Max égal à 2^(1/2)


Posted by: busard_des_roseaux

bjr,

il y a une méthode élémentaire niveau classe de Première:

si (x,y) \in S \exist \theta \in \mathbb{R}

x^2=\cos(\theta)
y^2=\sin(\theta)

f(x,y)=\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})

et l'on détermine les extrema.

Rien n'interdit de comparer les résultats de la méthode générale et de la méthode élémentaire.


Posted by: Maxmau

Citation:
Posté par busard_des_roseaux
bjr,

il y a une méthode élémentaire niveau classe de Première:

si (x,y) \in S \exist \theta \in \mathbb{R}

x^2=\cos(\theta)
y^2=\sin(\theta)

f(x,y)=\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})

et l'on détermine les extrema.

Rien n'interdit de comparer les résultats de la méthode générale et de la méthode élémentaire.



C’est vrai qu’en posant X = x² et Y = y² (on peut supposer x et y > 0)
On se ramène à chercher les extrema de F(X,Y) = X +Y
avec la contrainte X² + Y² =1 X>0 , Y>0 (quart du cercle trigo)

petit problème classique dont l’interprétation géométrique est évidente


Posted by: Maxmau

Citation:
Posté par uztop
Bonjour,
je ne suis pas sur de pouvoir beaucoup t'aider mais bon, je vais essayer.

x²=(1-y^4)^(1/2)
n'est vrai que pour |y|<=1 en effet x² prend des valeurs reelles
Il faut donc considerer deux valeurs formules pour la fonction h(y) selon la valeur de |y|



cette méthode marche très bien aussi

on se ramène à chercher les extrema de x² + ( 1 – x^4)^(1/2) ; Ce qui se fait très simplement


Posted by: trocho

Merci à tous!



A bientôt, peut-être...










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