Exposants de (-1)

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Posted by: Memento

Bonjour à tous !

Pourriez-vous m'aider à simplifier cette formule:

(-2)^{0.25} \ (-3)^{0.2} \ (-4)^{3.2}

puis-je écrire

(-1)^{(0.25 + 0.2 + 3.2)} \ (2)^{0.25} \ (3)^{0.2} \ (4)^{3.2}

=

(-1)^{3.65} \ (2)^{0.25} \ (3)^{0.2} \ (4)^{3.2}

=

-(-1)^{0.65} \ (2)^{0.25} \ (3)^{0.2} \ (4)^{3.2}


Je suis bien conscient qu'il vaudrait mieux utiliser la notation d'Euler pour ce genre de calculs ((-1)^{3.65} = e^{3.65.Ln(-1)} = e^{3.65.\pi.i} ... )

Merci beaucoup

@+


Posted by: alavacommejetepousse

bonsoir

(-2)^(0,25) n'est pas défini.


Posted by: Memento

J'en suis bien conscient

Je souhaite simplement ramener cette expression à un nombre "complexe"...

genre:


(-105.2) e^{0.65.\pi.i} )


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par Memento
Bonjour à tous !

Pourriez-vous m'aider à simplifier cette formule:

(-2)^{0.25} \ (-3)^{0.2} \ (-4)^{3.2}

[/TEX] )


Bjr,

examinons ce qu'est une détermination du log complexe:
si z et u sont deux nombres complexes, calculer log(z)
c'est résoudre l'équation d'inconnue u=x+iy
e^u=z.

Il vient:

\displaystyle u=Ln(|z|)+i Arg(z)

On montre que l'on a une détermination continue de l'argument de z,
quand z appartient à un ouvert simplement connexe de \mathbb{C}, ce qui veut dire que z \rightarrow Arg(z) est alors une mesure d'angle qui est univoque et qui varie continuement en fonction de z.

on considère l'ouvert de \mathbb{C}:

\mathbb{C} privé de la demi-droite \mathbb{R}^{+}

l'argument de z varie alors de ]0;2 \pi[ quand z appartient à cet ensemble ouvert.

Dans ce genre de considération, on ne raisonne pas du tout "modulo 2 pi"
comme d'habitude, mais au contraire, on suit continuement l'argument
de z quand il se déplace dans l'ouvert (ou sur la surface de Riemann).

Sans utiliser les log, on a -1=e^{i\pi}

d'où on trouve comme résultat:


(-2)^{0.25} \ (-3)^{0.2} \ (-4)^{3.2}=64 \, 3^{\frac{1}{5}} \, 2^{\frac{13}{20}} e^{i \pi 3,65}

Comme l'argument \pi \times 3,65 est sorti
du domaine de définition ]0,2 \pi[ , on est bien ennuyés.

Le problème, c'est qu'à cet argument \pi \times 3,65
on pourrait rajouter:
\frac{\pi}{10} \left( 5k+4k'+64k" \right)
avec (k,k',k") \in \mathbb{Z}^3 pour obtenir d'autres résultats.

Les entiers 5k+4k'+64k" forment le sous-groupe \mathbb{Z} tout entier.

Le produit est donc une famille de complexes de module
64 \, 3^{\frac{1}{5}} \, 2^{\frac{13}{20}}
et d'arguments:
3,65 \pi + k \frac{\pi}{10}
Sur la surface de Riemann du log, ils sont situés sur une hélice à intervalles réguliers. Il faudrait voir comment ils se situent sur les différents feuillets.


Posted by: Memento

Merci beaucoup pour votre exposé !

Je me permet de vous envoyer un message privé ou je vous précise mon problème.

Merci encore.










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