Soit s un endomorphisme diagonalisable avec l1,.......,lr ses valeurs propres et E1,.........,Er ses sous espaces propres.
J'aimerai savoir si tout vecteur propre de exps est vecteur propre de s?Si exps est diagonalisable, est il vrai que s est diagonalisable?
Je dois en déduire que s->exps determine une bijection de S sur S+...
merci d'avance
Posted by: fahr451
1) si s est diagonalisable exp s l est aussi ds la même base
donc les sous espaces propres sont les mêmes; par conséquent tout vectreur propre de exp s est aussi vecteur propre de s
Posted by: surf-555
Je veux bien mais vous auriez pas une piste à me donner pour démontrer le résultat parce que je bloque complètement?
merci d'avance....
Posted by: fahr451
on a déjà répondu quelque part
dans une base B de diagonalisation de s
Mat(s,B) = D = diag (l1,...,ln) diagonale donc
Mat(s^k/k! ,B) = D^k /k!
donc en sommant d abord somme partielle puis passage à la limite
Mat (exp s , B ) = exp D = diag ( exp l1,...exp ln) diagonale
ce qui prouve que exps est diagonalisable ds la même base ce qui prouve l 'égalité des sous espaces propres.
Posted by: surf-555
oui merci pour ce sens en fait j'ai pas eu trop de probleme pour celui la mais c'est l'autre sens qui me pose beaucoup plus de problème .......
Posted by: fahr451
hum hum
en voyant S ... d 'emblée on se limiterait pas aux endomorphismes s symétriques ?
d 'ailleurs comment as tu défini exp s quand s n 'est pas diagonalisable ?
tu connais les séries de fonctions ?
Posted by: surf-555
en fait vous avez raison on se limite pas aux endomorphismes symétrique .
On définit uk=i+s+.............+s^k/kk!=Pk(s)
en fait exps c'est la limite de (uk) lorqu'elle existe pour la norme infinie;cette derniere étant indépendante du choix de la base.
oui j'ai vu les séries de fonctions ....
est-ce plus clair?
Posted by: fahr451
l'application exp n'est pas injective car le log n'est pas unique en général.
en revanche exp de S sur S++ est bijective ça oui c'est facile.
en prenant une norme subordonnée ( équivalente à ll llinf car en dimension finie) on voit que l exp existe pour tout endomorphisme car la série converge normalement.
Posted by: fahr451
pour en revenir à ta question dans C
exp s diagonalisable => s diagonalisable est vraie
Posted by: surf-555
ah ok merci
Posted by: fahr451
la démo utilise la décomposition de jordan s = d +n ( ce n' 'est donc pas si immédiat)
