exponentielle , etude

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Posted by: celian

Bonsoir à tous , j'ai l'exercice suivant : On considère la fonction réelle f définie sur R par :

f(x) = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)

a) montrer que quelquesoit x appartient à R , f'(x) = 1 - (f(x))^2 .

f'(x) = 4/(e^2x + e^-2x + 2)

1 - (f(x))^2 = 1 - (e^2x + e^-2x - 2)/(e^2x + e^-2x + 2) , et en réduisant au meme dénominateur on trouve bien la meme chose , jusqu'ici tout roule .

b) déterminer l'image J = f(R) par f et montrer que f admet une application réciproque g = f^-1 définie sur J .

Je saisis mal la question mais j'essaye quand meme d'y répondre : quand x tend vers + inf , on a inf - 0 / inf + 0 , c'est indéterminé mais si je réécris les fonctions avec un DL je peux dire que la fonction tend vers 1 , et pour -infini ça tend vers -1 , donc l'image serait l'intervalle ]-1,1[ .
Pour la réciprocité , je dois trouver une fonction f définie sur -1,1 qui a pour image R , mais aucune ne me vient à l'esprit...

Quelqu'un peut il m'aider un peu ?

merci bien .


Posted by: nuage

Salut,
en posant X=\text{e}^{-x} résoudre f(x)=a revient à résoudre \frac{X-1/X}{X+1/X}=a avec X>0.
Et je te laisse continuer.

Ps : la fonction que tu donnes est la tangente hyperbolique notée en général \tanh et sa fonction réciproque est la fonction argument tangente hyperbolique notée \arg\tanh


Posted by: celian

ta méthode est encore plus rapide je n'ai pas à continuer , en calculant les limites sans DL à ta manière on a bien 1 et -1 , la fonction est en effet la tangente hyperbolique .

Comme elle est strictement croissante et continue de R sur ]-1,1[ elle établit une bijection de R sur ]-1,1[ , elle admet donc une fonction réciproque .


Posted by: celian

c) déterminer la dérivée de la fonction réciproque g .

donc on a argth'(x) = 1/(th(argth(x)) = 1/(1-th²(argth(x)) .

Donc argth'(x) = 1/(1-x²)

d) expliciter g(y) en résolvant par rapport à x l'équation y = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x) . retrouver la valeur de g'(y) .

Là je nage je dois le dire , pouvez vous m'éclairer ?

merci


Posted by: nuage

On te demande d'expliciter la fonction réciproque, puis de la dériver.
Avec \text{e}^x=X on a f(x)=a \text{ ssi }\frac{X^2-1}{X^2+1}=a \text{ soit } X = \sqrt{\frac{1+a}{1-a}}
Soit x=\frac{\ln(1+a)-\ln(1-a)}{2}.

Sauf erreur de calcul de ma part.

Reste à dériver cette expression par rapport à a.


Posted by: celian

nuage je suis vraiment désolée mais là je comprends rien à ce que tu as écrit...

ça veut dire quoi expliciter la fonction réciproque ? , j'ai jamais eu une question de ce genre ..

en résolvant y = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x) , mais il vaut quoi y ?

là je suis désolée mais je comprends tout simplement rien à cette question...et encore moins à ta réponse , f(x) = a , c'est quoi ce a ?

pourrais tu me donner des explications s'il te plait ?

merci


Posted by: nuage

Dans ce qui précède j'ai noté a ce que tu notes y.
Pour revenir au problème de départ, trouver la fonction réciproque de f revient à résoudre l'équation y=f(x) où x est l'inconnue. Ceci parce que f est bijective.
on a donc y=f(x) \text{ ssi } x =f^{-1}(y).
Dans le cas qui nous intéresse on peut effectivement déterminer x en fonction de y (a dans mon post précédent).


Posted by: celian

ok ça c'est plus clair mais alors d'où sort ce X² - 1 / X² + 1 , c'est surtout les 1 que je comprends pas...


Posted by: nuage

\frac{x-1/x}{x+1/x}=\frac{x^2-1}{x^2+1} en multipliant numérateur et dénominateur par x.

remarque (1/x )\times x =1


Posted by: celian

je me suis trompée ce sont les X² que je comprends pas lol


Posted by: celian

ah si ça va j'ai compris , mais la question en elle meme façon j'ai pas trop compris mais je laisse tomber ça me saoule .

dernière question : montrer que |g(1/10) - 1/10| < 1/900

je pensais écrire ça moi :

(1/2) ln(1 + 1/10 / 1 - 1/10) - 1/10 =

1/2 * ln(11/10 - ln 9/10) - 1/10 mais je vois pas comment prouver que c'est plus petit que 1/900...


Posted by: celian

en mettant à l'exponentielle je trouve (1/2 * 2/10) - 1/10 = - 1/10 et c'est pas inférieur en valeur absolue à 1/900...


Posted by: nuage

Citation:
Posté par celian
... pas trop compris mais je laisse tomber ça me saoule .

...

Moi aussi, il est trop tard ou trop tôt.
A tout à l'heure


Posted by: celian

merci pour ton aide , il y a une derniere question à laquelle j'ai essayé de répondre juste au dessus , si tu as un avis...encore merci .


Posted by: nuage

Salut,
La dérivée seconde de g=argtanh est positive sur \mathbb{R}^+. La fonction est convexe et pour x et x+h dans \mathbb{R}^+ on a :
g(x+h)&gt;g(x)+h g'(x).

Il suffit ensuite d'utiliser cette inégalité
--avec x=0 \text{ et }h=1/10
--puis avec x=1/10 \text{ et }h=-1/10

je trouve alors 0<g(1/10)-1/10<1/990

A+


Posted by: celian

merci pour tout nuage , pour la dernière question , ton raisonnement se base sur la convexité nous sommes d'accord ?


Posted by: celian

je comprends néanmoins mal pq tu parles de dérivée seconde...


Posted by: nuage

Citation:
Posté par celian
merci pour tout nuage , pour la dernière question , ton raisonnement se base sur la convexité nous sommes d'accord ?

Oui.
Et c'est pour étudier la convexité que je regarde le signe de la dérivée seconde










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