Mathématiques - Exponentiel en sinus par suite

Exponentiel en sinus par suite
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Posted by: tahoser

De mon côté je cherche à simplifier la somme d'une exponentiel pour montrer qu'on retrouve un sinus.
J'ai donc:

sum_{k=-n/2}^{n/2}=e^{2pi/l k a sin(theta)}
Je voudrais que
sum_{k=-n/2}^{n/2}=sin(pi a n/l sin(theta)) / sin(pi a/l sin(theta))

Et pour ça on passe par:
sin(pi a n/l sin(theta))=(1- e^{2pi/l (n/2 - (-n/2) + 1) a sin(theta)}) / (1- e^{2pi/l a sin(theta)})

Mais du coup y a un soucis mais je vois pas où!

Merci bienDe mon côté je cherche à simplifier la somme d'une exponentiel pour montrer qu'on retrouve un sinus.
J'ai donc:

sum_{k=-n/2}^{n/2}=e^{2pi/l k a sin(theta)}
Je voudrais que
sum_{k=-n/2}^{n/2}=sin(pi a n/l sin(theta)) / sin(pi a/l sin(theta))

Et pour ça on passe par:
sin(pi a n/l sin(theta))=(1- e^{2pi/l (n/2 - (-n/2) + 1) a sin(theta)}) / (1- e^{2pi/l a sin(theta)})

Mais du coup y a un soucis mais je vois pas où!

Merci bien

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par tahoser

$\displaystyle \sum_{k= -n/2}^{n/2}=e^{2pi/l k a \sin(\theta)}$

Faut-il lire p $i=p \sqrt{-1}$ ou pi= $\pi$ ?

Posted by: tahoser

Ous c'est (pi * i).
Désolée...

Merci pour le traduc latex par ailleurs
$\pi \times i$

Posted by: mathelot

le /l c'est une balise ou l'on divise par l'entier l ?

Posted by: tahoser

On a en fait
$sum_{k=-n/2}^{n/2}=e^{\frac{2 \pi i}{l} \times k a sin(theta)}$

Posted by: mathelot

on pose:

$\displaystyle x=\frac{a \sin(\theta)}{l}$

$\displaystyle \sum_{k = - \frac{n}{2}}^{k = \frac{n}{2}} \,<br /> e^{ 2 i \pi k x}$

$\displaystyle = 1+ 2 \Re \left( \sum_{k = 1}^{n} \,<br /> e^{ i \pi k x} \right)$

car $z+\bar{z}=2 \Re(z)$

$\displaystyle = - 1 + 2 \Re \left( \sum_{k = 0}^{n} \,<br /> e^{ i \pi k x} \right)$

$\displaystyle = - 1 + 2 \Re \left( \frac {e^{i \pi (n+1)x} - 1 }{e^{i \pi x} - 1 } \right)$

$\displaystyle = - 1 + 2 \frac{\sin(\pi x \frac{(n+1)}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2})} \Re \left( {e^{i \pi \frac{xn}{2} \right)$

$\displaystyle = 2 \frac{\sin(\frac{\pi x (n+1)}{2} )}{\tan(\frac{\pi x}{2})} -1$

Posted by: tahoser

En fait moi j'utilise pas de partie réelle. J'utilise juste l'équation des suites

$\sum_{0}^{n} q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Mais je suis pas sûr en fait que ce soit correcte pour l'exponentiel et quel puissance mettre à q quand je vais de -n/2 à n/2

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par tahoser

En fait moi j'utilise pas de partie réelle.

tu peux scinder la somme en trois, faire un changement d'indice pour les
indices entiers négatifs.

Posted by: tahoser

Je vois mais du coup ça revient à faire de 0 à N puisque du coup on ferait de 0 à N/2 et de 0 à N/2. Mais du coup si je change le signe pour la première partie (qui serait de -N/2 à 0 normalement), à quoi correspond ce changement dans l'équation?

Posted by: mathelot

tu es en quel classe ?

Posted by: tahoser

Disons que ça fait longtemps que j'ai pas refait de tel calcul et que je bloque!

Posted by: mathelot

bon voilà des formules:

z=x+iy
x=Re(z)
z'=x'+iy'
x'=Re(z')

z+z'=(x+x')+i(y+y')

d'où

re(z+z')=re(z)+re(z')

On peut donc permuter partie réelle et somme.

une somme de cosinus cos(nx) est donc la partie réelle de la somme
des n+1 premiers termes d'une progression
géométrique.

$\displaystyle cos(nx)=\frac{1}{2} \left( e^{inx}+e^{ -inx} \right)$

Ta somme est mal écrite, il vaut mieux écrire:
$\sum_{k=0}^{n} q^n que \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}} q^{2k}$