Mathématiques - exponentiel de matrice: solution d'un systeme

exponentiel de matrice: solution d'un systeme
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Posted by: fidi

Bonsoir à tous,

Voilà, je me retrouve devant un "petit" problème que j'avoue avoir du mal à résoudre...

A partir de cette équation fonctionnelle:

M(x+y) = M(x).M(y)
avec M(x) la fonction de transfert d'un tuyau (matrice 2x2).

Si A, B et C désigne 3 sections du tuyau séparé par les distances x et y, on peut lier les vecteurs perturbation P (pression et débit) par:
Pb=M(x).Pa ; Pc=M(y).Pb et Pc = M(x+y).Pa

Comment peut on démontrer que les matrices M(x) solution de l'équation fonctionnelle sont de la forme:
M(x) = exp (x.K)

avec K une matrice (2.2) à coefficients complexes ne dépendant pas de x

Par avance merci

Posted by: Aspx

Dérivabilité automatique :
La multiplication à gauche par $M(x)$ étant linéaire et continue elle commute avec l'intégration d'où en intégrant ta relation

$\displaystyle \int_{0}^{t} M(x+y)dy = M(x) \int_{0}^{t} M(y)dy$

i.e

$\displaystyle\int_{x}^{t+x} M(y)dy = M(x) \int_{0}^{t} M(y)dy$

Il reste plus qu'à trouver un $t$ tel que $\displaystyle \int_{0}^{t} M(y)dy$ soit inversible (on aura alors le caractère $\mathcal{C}^1$ de $M$ ). Or (j'imagine que les conditions initiales doivent imposer $M(0)=I_2$ ) vu $M$ continue $M(y) = I_2 + \epsilon(y)$ puis en primitivant le DL
$\displaystyle \int_{0}^{t} M(y)dy = t(I_2+\epsilon(t))$ qui est inversible pour $|t|$ assez petit ( $Gl_2(\mathbb{C})$ ouvert)

On peut dériver (d/dy) :

$M'(x+y)=M(x)M'(y)$

Puis $y=0$

$M'(x)=M(x)M'(0)$

Fonction auxiliaire :
Posons

$\displaystyle Q(x) = M(x) \exp (-x M'(0))$

Sa dérivée est nulle, puis la conclusion vient ensuite.

Posted by: fidi

Bonsoir, merci de ta réponse !! Je suis vraiment impressionné par ta rapidité !!! merci. Cependant une chose m'échappe encore comment détermines tu la fonction auxiliaire et comment conclure?

Merci de ces éclairsicements

Posted by: Aspx

Eh bien

$Q'(x)=\exp (-x M'(0)) (M'(x)-M(x)M'(0))=0$

Donc $Q$ est constant donc $Q(x)=Q(0)=M(0)=I_2$

Finalement en multipliant à droite par $\exp (x M'(0))$ il vient

$M(x) = \exp (x M'(0))$

Posted by: fidi

Ok, désolé, je n'avais pas vu qu'il fallait dérivé Q...(mal lu

)

Je vais me permettre d'abuser un peu:

Je voudrais comprendre comment on arrive à l'expression suivante

Si on pose M'(0) = K

http://img164.imageshack.us/img164/...rmulebu9.th.jpg

Encore merci pour la réactivité.