Mathématiques - exos séries

exos séries
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Posted by: yoda_disciple

slt toutle monde ,
je bloque sur deux exos concernant les séries numériques ( et oui tjs :p)

exo1

il s'agit d'étudier Un = 1+1/2+.........+1/n-ln(n)
je sais , qu'on doit trouver la cste d'euler ( 0.557 il me semble ?) bref une lim entre 0 et 1
mais comment ena rriver là ? je me suis dit que x|----->1/x est une fct qui décroit à partir d'un certain rang donc Sum(i=1 à n)>=int(1 à n) dx/x , et puis j'obtiens aussi 0<=Un<n-ln(n) puis après 0<=Sn<n/2(1+n)-sum(i=1 à n)ln(i) , mais après je bloque .... suis je sur la bonne voie au moins ?

exo 2
Etudier la nature de la suite de terme gnrl :
Un = ln(n-1)!-(n-1/2)ln(n)+n
là j'ai calcule (Un - Un-1) , j'ai trouvé 2 .... et puis rien lol

help please :)

Posted by: danskala

salut, pour l'exercice 1, on peut procéder comme suit:

on remarque tout d'abord que l'on a l'équivalence suivante

"la suite $4$ u_n$ est convergente" equivaut à "la série de terme général $4$ (u_n-u_{n-1})$ est convergente"

(En effet, formons les sommes partielles de la série de terme général $(u_n-u_{n-1})$ :
$\bigsum_{k=2}^n(u_k-u_{k-1})=(u_n-u_{n-1})+(u_{n-1}-u_{n-2})+...+(u_2-u_1)$
Les différents terme s'annulent 2 à 2 sauf $u_n$ et $u_1$
donc $\bigsum_{k=2}^n(u_k-u_{k-1})=u_n-u_1$
Et l'équivalence citée plus haut apparaît évidente)

Pour montrer que ta suite converge on peut à la place montrer que la série de terme général $(u_n-u_{n-1})$ converge. ( $n\ge 2$ )

On a $3$u_n-u_{n-1}=\frac{1}{n}-ln n+ln(n-1)=\frac{1}{n}+ln(\frac{n-1}{n})=\frac{1}{n}+ln(1-\frac{1}{n})$

En utilisant les développements limités, on a
$3$u_n-u_{n-1}=\frac{1}{n}+(-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))=-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2})$

Donc $3$u_n-u_{n-1}\sim -\frac{1}{2n^2}$

Or la série de terme général $3$ -\frac{1}{2n^2}$ est de signe constant et est convergente danc la série de terme général $3$u_n-u_{n-1}$ est aussi convergente.

Donc la suite de terme général $3$ u_n$ converge.

bye.

Posted by: danskala

pour l'exercice 2, tu peux, comme pour l'exercice 1, étudier la série de terme général $u_n-u_{n-1}$ (ou celle de terme général $u_{n+1}-u_n$ , si les calculs sont plus simples)

Posted by: yoda_disciple

merci bcp danskala ;)
je connaissais même pas ce théorème mais la démo est claire !
au moins pr le 2 j'étais dans la bonne voie mais j'ai pas su conclure lol (enfin , ce qui m'a poussé à faire Un-Un-1 c'était dans le but de me débarrasser du factoriel )sinon , tu peux me confirmer qu'on trouve Un-Un-1 = 0 ? donc,on ne peut rien dire et va falloir trouver autre chose pr étudier la série de terme gnrl Un-Un-1...

Posted by: yoda_disciple

oops , fais pas attention à ce que j'ai dit à propos de Un-Un-1 je délire :p
merci encore pr tes explications :)

Posted by: danskala

$3$ u_n-u_{n-1}=ln((n-1)!)-(n-1/2)ln (n)+n-[ln((n-1-1)!)-(n-1-1/2)ln (n-1)+n-1]$

$3$ u_n-u_{n-1}=ln((n-1)!)-(n-1/2)ln (n)+n-ln((n-2)!)+(n-1-1/2)ln (n-1)-n+1$

$3$ u_n-u_{n-1}=ln(\frac{(n-1)!}{(n-2)!})-(n-1/2)ln (n)+(n-1-1/2)ln (n-1)+1$

$3$ u_n-u_{n-1}=ln(n-1)-(n-1/2)ln (n)+(n-1-1/2)ln (n-1)+1$

$3$ u_n-u_{n-1}=ln(n-1)-(n-1/2)ln (n)+(n-1/2)ln (n-1)-ln(n-1)+1$

$3$ u_n-u_{n-1}=(n-1/2)(ln (n-1)-ln(n))+1$

$3$ u_n-u_{n-1}=(n-1/2)ln (\frac{n-1}{n})+1$

$3$ u_n-u_{n-1}=(n-1/2)ln (1-\frac{1}{n})+1$

Voilà, sauf erreur de calcul.

Je te laisse terminer

@+

Posted by: yoda_disciple

oui , voilà alors bon j'avais calculé Un+1-Un et maintenant je calcule Un-Un-1 ( enfin là j'ai terminé ton calcul :p) et je trouve à chaque fois o(1/n) ! ce qui est en contradiction avec le reste de l'exercice , car ma suite doit converger ( don cla série doit converger ) je devrai trouver o(1/n^2) c curieux :

(n-1/2)*ln(1-1/n)+1
= (n-1/2)*(-1/n-1/2*n^2+o(1/n^2))+1
= -1-1/2*n+o(1/n)+1/2*n+1/(4*n^2)-1/2*o(1/n^2)
=o(1/n) non ?
puisque 1/4*n^2 et o(1/n^2) sont tous deux dans o(1/n) , une fct négligeable devant o(1/n^2p) l'est forcément devant o(1/n) non ?
je viens de faire la question 2 , nickel ( c'était en rapport avec la formule de stirling) mais j'ai fais comme ci ma série convergeait ( ce qui est le cas ) mais , ou est le prob dans mes calculs ?

encore merci , danskala t'es sympa ^^

Posted by: yoda_disciple

au temps pour moi , en fait je viens de relire le truc et c : O (1/n^2) , et non o(1/n^2) ce qui fait que tout rentre dans l'ordre :)
et puis je suis bête , même pr o(1/n) le résultat fait que ça converge puisque les o(1/n) sont de la forme 1/n^alpha , avec alpha>1 ....

voilà je veux juste , que vous me confirmez que je dis pas de bêtises ^^
thx !

Posted by: Galt

Attention, tout ce qui est $o(\frac 1 n)$ ne converge pas, par ex la série de terme général $\frac 1 {n\ln n}$ diverge (par comparaison avec une intégrale)

Posted by: yoda_disciple

ah oué c vrai !
mais alors , comment se fait il que je trouve o(1/n) et que ma série doit converger ?

Posted by: danskala

salut,

qu'est-ce qui te fait dire que la suite de départ doit converger ?

Posted by: Galt

Pour savoir si ça converge, il faut faire le DL à un ordre plus élevé :
$u_{n+1}-u_n=\ln (n!)-(n+\frac 1 2)\ln (n+1)+n+1-(\ln ((n-1)!)-(n-\frac 1 2)\ln n +n)$ , ce qui donne $1-(n+\frac 1 2)(\ln (n+1)-\ln n)$ soit $1-(n+\frac 1 2)(\ln (1+\frac 1 n )$ . Un DL à l'ordre 3 donne $\ln(1+\frac 1 n)=\frac 1 n - \frac 1 {2n^2}+\frac 1{3n^3}+o(\1 {n^3})$ donc $(n + \frac 1 2)\ln(1+\frac 1 n)=(n+\frac 1 2)$\frac 1 n - \frac 1 {2n^2}+\frac 1{3n^3}+o(\1 {n^3})$$ , et en faisant le développement on voit que les termes en $\frac 1 n$ s'en vont, ce qui fait que $u_{n+1}-u_n$ est en $\frac 1 {n^2}+o(\frac 1 {n^2})$ , donc que la série de terme général $u_{n+1}-u_n$ est convergente, et donc que la suite $(u_n)$ converge

Posted by: yoda_disciple

Citation:

Posté par danskala

salut,

qu'est-ce qui te fait dire que la suite de départ doit converger ?

l'énoncé .... ( lol )

merci , à toi galt pr l'explication , mais ... ( dsl d'être chiant ) si je développe à un certain ordre (2 par exemple ) ça div , et si je vais à l'ordre 3 ça conv .... pas logique tt ça ... ?

Posted by: Galt

Non : si tu développes à l'ordre 2, tu ne peux pas conclure parce que o(1/n), on ne sait pas si c'est convergent ou divergent.
Quand on va plus loin, le o(1/n) s'est avéré être en $\frac 1 {n^2}$ donc série convergente

Posted by: yoda_disciple

Ah daccord , très bien !
Mille merci pour vos réponses , et votre patience surtout !!!