exos entrée en prépa.

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Posted by: drabase

Bonjour, pour la rentrée j'ai de nombreux exos dont certains que j ai du mal a traité...
. calculer : Somme(sigma) de k=1 à n de kk!.
. en utilisant la formule du binome de newton, calculer : somme de k=0 à n de (k parmi n) et la somme de k=0 à n de : (-1)^k (k parmi n)
. en déduire la valeur de : somme de k=o à p de (k parmi n) (p-k parmi n-k)
(indication : on pourra montrer que :
(k parmi n) ( n-k parmi p-k) = (k parmi p) (p parmi n)


une autre question que je n'arrrive pas à terminer :

on me demande de trouver le module et l'argument de z = 1 + eiO avec O appartenant à [0;2 pie[
donc je factorise par eiO/2 : z = eiO/2 ( eiO/2 + e-iO/2 )
grace à la formule d'Euler je trouve finalement: z= eiO/2 x 2cos(eiO/2)
je ne pense pas pouvoir conclure avec ça car selon mes deja anciens souvenis de terminale, le module est toujours positif ce qui n'est pas le cas de 2cos(eiO/2)...

Merci d'avance à ceux qui s'arrêteront sur ces questions.
drabase


Posted by: gamecuber

Citation:
Posté par drabase
grace à la formule d'Euler je trouve finalement: z= eiO/2 x 2cos(eiO/2)


Je me permets juste de rectifier : ce serait plutôt z= exp(i*O/2)*2cos(O/2).
Là on a deux cas :
- O est dans [0,pi] : alors cos(O/2) est positif, donc mod(z)=2cos(O/2) et arg(z)=O/2

-O est dans [pi,2pi] : effectivement, 2cos(O/2) est négatif, donc on a : z=exp(i*O/2)*exp(i*pi)*(-2cos(O/2)) (car exp(i*pi)=-1)
donc mod(z)= -2cos(O/2) et arg(z)=O/2+pi.


Posted by: drabase

Oui pardon pour la faute de frappe et merci pour la réponse.
Les autres questions méritent réponses : avis aux amateurs.


Posted by: palmade

quelques indications:
* applique la formule du binôme à (1+1)^n et (1-1)^n
* reviens à la définition de ce que tu notes (k parmi n)=n!/(k!(n-k)!)

es-tu sûr de l'énoncé de la première question, qui ne me parait pas classique...


Posted by: gamecuber

Bon vu que personne n'a l'air très chaud pour ces exos, je m'y colle :)

Alors : pour n différent de 0 :
- la somme de k=0 à n des k*k! ça fait (n+1)!-1 (ça se vérifie facilement par récurrence!)
- somme de k=0 à n de C(n,k) ça fait 2^n (prendre a=b=1 dans le développement de (a+b)^n par le binôme)
- de même, somme de k=0 à n de C(n,k)*(-1)^k ça fait 0 (prendre a=1 et b=-1)
- je te laisse démontrer que C(n,k)*C(n-k,p-k)=C(p,k)*C(n,p) 2 possibilités : bidouillage avec les factorielles que je n'ai pas le courage d'écrire :D OU preuve combinatoire, beaucoup plus élégante à mon gout....
Enfin toujours est il que : somme de k=0 à p de C(n,k)*C(n-k,p-k) = C(n,p)
*somme de k=0 à p C(p,k) = C(n,p)*2^p...
Voila!

Bonne continuation.

+

PS : attention à la 6e ligne de ton premier post : c'est C(n-k,p-k) et pas C(p-k,n-k)


Posted by: Wemi

Citation:
Posté par gamecuber
Bon vu que personne n'a l'air très chaud pour ces exos, je m'y colle :)

Alors : pour n différent de 0 :
- la somme de k=0 à n des k*k! ça fait (n+1)!-1 (ça se vérifie facilement par récurrence!)



Oui, ça se vérifie mais comment as-tu trouver ce résultat?


Posted by: drabase

merci à gamecuber et palmade!
je me demande la même chose que wemi :-) car je ne crois pas que parachuter un résultat puis démonter par récurrence que ce résultat est effectivement le bon soit valable... enfin peut êter que je me trompe et dans ce cas la reprenez moi.
Merci encore.


Posted by: palmade

kk!=((k+1)-1)k!=(k+1)!-k! pour k>0
donc en sommant, il ne reste que (n+1)!-1


Posted by: gamecuber

Citation:
Posté par drabase
je ne crois pas que parachuter un résultat puis démonter par récurrence que ce résultat est effectivement le bon soit valable


J'avoue que j'ai répondu trop rapidement, et je n'aurais certainement pas eu tous les points si ça avait été noté :p . Merci à palmade pour avoir ajouté la justification qui manquait :)


Posted by: MooMooBloo

Si tu calcule les premieres sommes (avec n=0, 1, 2, 3), tu peut conjecturer la formule et la démontrer par récurrence. Bon, bien sur c'est pas forcément évident, mais ca aide si tu trouve pas la solution qu'a utilisé Palmade (qui est la meilleure je pense)










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