Exo Traditionnel de Résolution du troisième degré 1ERE S

par **Anonyme** » 07 Oct 2005, 23:36

Bonjour cher MATHEUX,

Nous avons tous en commun, l'amour des mathématiques, cependant il se peut des fois que cet amour ne soit pas réciproque...

Donc voilà, je présente mon problème, j'ai un Devoir maison, sur les Polynomes...

Je ne demande point les réponses, seulement savoir si le raisonnement est bon.
Merci

I - Résolution d'une équation du troisième degré.

Le but de l'exercice est de résoudre l'équation du troisième degré 10x^3-9x²+9x+1=0 [1]

1°) On considère le polynôme P défini par P(x) = 10x^3-9x²+9x+1

a) On pose x=X+h. Déterminer......Q(X)
b) Determiner le réel h, tel que : Q(X) = 10(X^3+pX+q)

Ici, je trouve h=3/10
q= 79/250
p= 67/100
Les questions précédantes en découlent donc.

2°) Le but de la question est de résoudre : Q(X) = 0

a) Déterminer deux réels $/alpha$ et $\theta$ tel que :

q = $/alpha$ ^3 + $\theta$ ^3
p = -3 $/alpha$$\theta$

J'ai essayer de me lancer avec une identité remarquable, mais je tourne en rond...

et donc cela me bloque pour les questions suivantes.

b) Prouver que X^3 + $/alpha$^3 + $\theta$^3 - 3$/alpha$$\theta$X est factorisable par X + $\theta$ + $/alpha$

c) Effectuer cette factorisation

d) Déduire de ce qui précède une racine de Q(X); puis de P(x)

3°) Résoudre 10x^3-9x²+9x+1=0

Merci d'avance pour votre aide

par **LN1** » 07 Oct 2005, 23:53

Bonsoir,

je n'ai pas vérifié tes calculs mais je te débloque pour la suite
Ce que tu es en train de découvrir est la méthode de Cardan (ou Cardan Tartaglia)

tu cherches deux réels a et b tels que

p = -3ab

Ce système est équivalent à

De ce système tu peux en déduire

et

et tu trouveras tout naturellement a et b

Bon courage

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 10:32

Merci beaucoup LN1 !

j'ai trouvé c'est bon mais je ne sais pas comment prouver que X+$/alpha$+$/theta$ est un facteur.

Cependant j'ai la question suivante qui demande de factoriser .... j'utilise ici

(a^3+b^3+c^3-3abc) = ( a + b + c ) ( a² + b² + c² - ab - ac - ca )

Merci d'avance

par **LN1** » 08 Oct 2005, 12:03

J'ai du mal à comprendre ton problème...

tu as développé (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac) et tu as obtenu

or Q(X) = 10(X^3 + pX +q)
Si tu remplaces p et q par leur valeurs en fonction de

et

, tu obtiens

tu n'as plus qu'à utiliser l'égalité précédente en prenant a = X,

et

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 15:11

merci beaucoup LN1 .

Cependant comment le prouver ? pr la rédaction

par **LN1** » 08 Oct 2005, 15:30

prouver quoi?

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 15:37

Prouver que X^3 + $/alpha$^3 + $\theta$^3 - 3$/alpha$$\theta$X est factorisable par X + $\theta$ + $/alpha$

?

Merci

par **LN1** » 08 Oct 2005, 16:05

on tourne en rond
tu as développé (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac) et tu as obtenu
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

donc tu sais que a^3 + b^3 + c^3 - 3abc est factorisable par (a + b + c), pour tous a, b et c

donc X^3 + etc. est factorisable par (X + etc.)
en remplaçant a par X , b par etc.

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 16:34

Je voudrais un grand merci a ceux qui ont lu mon énoncé et a ceux qui mon aider.

Par contre jvoudrai demander une question sur les racines évidentes

Si quelqu'un connait ce théorème que je dois démontrer...car j'ai un autre souci... j'ai beau cherché dans ma tête ou dans la littérature corrigée, je ne trouve point.

Dans cette question, on propose une méthode qui permet de trouver les racines évidentes dans le cas de polynômes à coefficients entier
P(x) =a$x_n$x^n+a$x_n-1$^x^(n-1) + .... + a$x_k$x^k+....a$x_1$x+a$x_0$
avec a$x_0$ $\neq$ 0 et a$x_k$ entier pour tout entier naturel k tel que 1$\leq$k$\leq$n, ou n $/in$ $/N$

a ) Montrer que si $/alpha$ est une racine entière du polynôme P, alors il existe un entier k tel que a$x_0$ = $/alpha$k
En déduire que si P a des racines entières, ces racines sont des diviseurs positifs ou négatifs de a$x_0$

b ) Montrer , sur un exemple que la réciproke est fausse

c) Indiquer comment trouver les racines évidentes d'un polynôme à coefficients entiers (avec a$x_0$ $\neq$ 0 )

Merci d'avance

par **LN1** » 08 Oct 2005, 17:18

kuzo a écrit:Je voudrais un grand merci a ceux qui ont lu mon énoncé et a ceux qui mon aider.

Par contre jvoudrai demander une question sur les racines évidentes

Si quelqu'un connait ce théorème que je dois démontrer...car j'ai un autre souci... j'ai beau cherché dans ma tête ou dans la littérature corrigée, je ne trouve point.

Dans cette question, on propose une méthode qui permet de trouver les racines évidentes dans le cas de polynômes à coefficients entier

avec et entier pour tout entier naturel k tel que , ou

a ) Montrer que si est une racine entière du polynôme P, alors il existe un entier k tel que
En déduire que si P a des racines entières, ces racines sont des diviseurs positifs ou négatifs de

b ) Montrer , sur un exemple que la réciproke est fausse

c) Indiquer comment trouver les racines évidentes d'un polynôme à coefficients entiers (avec )

Merci d'avance

N'est ce pas plus lisible ainsi ?
Ici les textes mathématiques ne se mettent pas entre $ $ mais coincés dans des balises TEX et /TEX à mettre entre crochets

Le démonstration de ce théorème est très simple car dans l'équation P(x) = 0, tu peux mettre tous les termes en x dans un membre et factoriser par x. Regarde ce que cela te donne si

est racine

Quant au nom de ce théorème je ne le connais pas

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 17:24

Ah ok D'accord Merci beaucoup LN1 .

J'ai réussi à démontrer la question a)

Mais je ne comprend pas la question b et c , enfin je ne sais pas le démontrer ..

Merci d'avance

par **Anonyme** » 09 Oct 2005, 10:11

Merci beaucoup LN1 pour votre aide

David

Exo Traditionnel de Résolution du troisième degré 1ERE S

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Merci

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