16 exercices tres interessants

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Posted by: lapras

Bonsoir,
je vous propose des exercices d'olympiades (pas forcément internationales) tres interessants et variés (théorie des graphes, arithmétique, principe des tiroirs, équations fonctionnelles, inégalités, géométrie...)

Voila :
Test1
Test2
Test3
Test4

Bon courage !


Posted by: Imod

On reconnait certains sujets que tu as déjà posté

J'en essaierai quelques-uns à mes temps perdus !

Imod


Posted by: lapras

Oui j'en ai posté quelques uns.
Mais tout est rassemblé ici sous forme de PDF.
c'est mieux :)


Posted by: ffpower

Je n ai pas compris l exercice 3 de la 2eme serie.C est quoi une traversee?un voyage en avion d une ville a une autre?mais on a pas besoin de passer 2 fois par une meme ville,donc au plus 99 traversees non?
Ah,et a l exercice 3 de la 3eme serie,ya bien un critere sur f,elle est surjective.Ce qui rend l exo beaucoup plus facile et beaucoup plus logique donc(car bon sinon,ya pas vraiment de solutions générales)


Posted by: lapras

La surjectivité a été rajoutée apres le test !
Nous on avait rien au départ :)


Posted by: _-Gaara-_

Salut,

voilà j'ai commencé par le test numéro 2 qui me paraissait bien.

je propose des trucs mais je ne sais pas si c'est bon :

pour le problème 1, on a 2 et 5 premiers entre eux, donc d'après le théorème de Bézout, il existe (u,v) tels que 2u + 5v = 3 donc comme xyz différent de 0 et élément de N on peut écrire

(xyz)^(2u+5v) = (xyz)^3

donc que (xyz)^2u + (xyz)^5v = (xyz)^3

et donc X^2 + Y^5 = Z^3

avec Z = xyz, Y = (xyz)^v et X= (xyz)^u

donc il y a une infinité de solutions ?

je sens qu'il y a boulette quelque part mais bon..

pour le problème 2;

P : "p(p(x)) = q(q(x)) admet une solution réelle"

Q : " p(x) = q(x) admet une solution réelle"

montrons que P => Q

Supposons que p(p(x)) = q(q(x)) admet une solution réelle

on ainsi,

p(p(p(x))) = p(q(q(x))) et aussi q(p(p(x))) = q(q(q(x)))

et donc comme p(q(x)) = q(p(x)) on a

p(q(q(x))) = q(p(p(x)))

et donc

p(p(p(x))) = q(q(q(x))) admet une solution réelle donc p(x) = q(x) admet une solution réelle.

donc par contraposée, si l’équation p(x) = q(x) n’a pas de solution réelle, alors p(p(x)) = q(q(x)) également n’a pas de solution réelle.


bon voilà je ne sais pas si c'est juste, j'attends vos corrections et vos commentaires qui me permettront sûrement de m'améliorer =)




Posted by: lapras

salut,
pour le 1)
a^(i+j) = a^i * a^j et non a^i + a^j

pour le 2)
tu mélanges un peu toutes les relations c'est assez confus je ne comprend pas bien...
p(q(q(x))) = q(p(p(x)))
C'est plutot
p(q(q(x)) = q(p(q(x)) = q(q(p(x))


Posted by: _-Gaara-_

Citation:
Posté par lapras
salut,
pour le 1)
a^(i+j) = a^i * a^j et non a^i + a^j



!! j'ai fais une erreur à la noix je vais me cacher....

Citation:
Posté par lapras
p(q(q(x))) = q(p(p(x)))
C'est plutot
p(q(q(x)) = q(p(q(x)) = q(q(p(x))


oui justement, je me suis auto-embrouillé

donc comment faut-il procéder pour ces deux trucs ? je ne lâcherais pas l'affaire


Merci lapras


Posted by: lapras

Citation:
donc comment faut-il procéder pour ces deux trucs ?

Tu veux la réponse ?


Posted by: _-Gaara-_

Non juste un indice, quelle propriété je dois utiliser pour la 1 et laquelle utiliser pour la 2 =)

Merciiii


Posted by: lapras

Pour la 1) soit tu sais faire une multiplication a la main, soit tu sais utiliiser ta calculatrice (qui est normalement non autorisée aux olympiades).
En gros essaye de créer un ensemble de solution, mais un ensemble tres simple...

Pour la deux ton reflexe est de dire
p(p(x)) = q(q(x)) => p(x) = q(x)
et pourquoi ne pas dire
p(p(x)) = q(q(x)) => les conditions initiales q(p(x)) = p(q(x)) sont fausses en te servant de p(x) = q(x) n'a pas de solution ?


Posted by: _-Gaara-_

Bon pour la 1) je dirais que, x=y et z= racine cubique de (x^2 + x^5 )

z est un entier car égal à x * racine cubique (1+x^3/x) (çà je le suppose >.<)

et pour la 2)

Supposons que p(p(x)) = q(q(x)).

On a p(x) = q(x) n'a pas de solution donc p(p(x)) = p(q(x)) n'a pas de solution et q(p(x)) = q(q(x)) non plus. or comme p(p(x)) = q(q(x)) on a p(p(x)) = q(q(x)) n'a pas de solution donc impossible ? xD


Posted by: lapras

Tu dis :
z = (x^2 + x^5)^(1/3)
tu affirmes donc qu'il existe une infinité d'entiers x tels que x² + x^5 soit un cube ?
démontre le si c'est vrai ;)

la 2) :
attention, p(x) n'est pas necessairement injectif !


Posted by: _-Gaara-_

Citation:
Posté par lapras
Tu dis :
z = (x^2 + x^5)^(1/3)
tu affirmes donc qu'il existe une infinité d'entiers x tels que x² + x^5 soit un cube ?
démontre le si c'est vrai ;)

la 2) :
attention, p(x) n'est pas necessairement injectif !



lol pour la 1) on a x² + x^5 = x^3 * (1/x + x²) donc c'est un cube ??

2) je commence à désespérer xD je ne vois pas >.<


Posted by: lapras

Attention, rien ne te dit que x^2 + x^5 est un cube.
Pour la deux c'est a la fois tres simple mais a la fois pas évident en fait y'a juste quelquechose a remarquer.
Aviateurpilot a donné une solution (3 lignes)


Posted by: _-Gaara-_

J'avoue être perdu là >.<

comment montrer que x^2 + x^5 est un cube ?

et c'est quoi le truc à remarquer pour la 2 ?

En trois lignes !!! wouaah je serais déjà content si je la fait en une page xD


Posted by: lapras

ce n'est pas sur que x^2 + x^5 soit un cube pour une infinité de x !
je n'y ai pas réfléchi
mais faut faire encore plus simple.
Trouve une solution (x0 , y0 , z0) particuliere
As tu fais les équations diophantiennes linéaires en cour ? c'est le meme principe : construis des solutions a partir d'une initiale.


Posted by: _-Gaara-_

Re,

dsl je devais passer un niveau à mon frère xD

bon pour ce qui est de la solution particulière il y a:

(10;3;7) mais alors là je ne vois pas comment construire l'ensemble des solutions xD


Posted by: lapras

C'est bon tu as fait tout le boulot (10 , 3 , 7) c'est ta solution !(j'exagere mais encore une demie ligne et c'est fini)
Franchement le plus dur la dedans c'est trouver (10 , 3 , 7) a la main :p


Posted by: _-Gaara-_

lol je t'avoue que j'ai failli m'arracher les cheveux... j'ai essayé plein de trucs et puis finalement j'ai décidé d'utiliser mon cerveau (excel xD) pour trouver la solution en 2 secondes xD

et donc pour généraliser à l'ensemble des solutions ont fait comment ?


Posted by: lapras

remarque que
PPCM(2,5,3) = 30
donc que
(2*15) = (5*6) = (3*10) = 30


Posted by: _-Gaara-_

je ne vois vraiment pas comment je pourrais utiliser ce résultat


Posted by: lapras

ok je te donne la solution
remarque que
10² + 3^5 = 7^3
en multipliant par k^30, où k est un entier quelconque
10²*k^30 + 3^5*k^30 = 7^3*k^30
(10*k^15)² + (3*k^6)^5 = (7*k^10)^3
donc
(10.k^15 ; 3.k^6 ; 7.k^10) est solution pour tout k


Posted by: _-Gaara-_

aaaah !!!

je n'y crois pas, c'est vraiment bien joué !!

j'aurais jamais trouvé tout seul xD

Merci lapras !!


Posted by: AL-kashi23

Citation:
Posté par _-Gaara-_
aaaah !!!

je n'y crois pas, c'est vraiment bien joué !!

j'aurais jamais trouvé tout seul xD

Merci lapras !!


Quand on voit la solution, tout devient simple d'un coup :) mais avant alors :)
Je regrette de ne pas avoir fait les olympiades quand je pouvais les faire moi :) mais bon, rien ne m'empêche de les faire, enfin d'essayer, par pur plaisir !

Super exercices vraiment !


Posted by: lapras

et encore celui la était vraiment le moins interessant, puisque tres facile quand on a un peu l'habitude de l'arithmétique.
Essaye donc les autres :)


Posted by: Imod

Toujours sur la fiche 2 , l'exercice 4 devient évident si on considère les symétriques des points E et F par rapport à l'axe (BC)

http://img76.imageshack.us/img76/5048/anglesgauxgp5.jpg

Imod


Posted by: lapras

Bravo Imod.


Posted by: Imod

Puisqu'on est dans la géométrie , feuille 1 exercice 3 , une solution par l'image ( on y arrive aussi avec la trigonométrie ) .

http://img228.imageshack.us/img228/...edanglesjp9.jpg

Imod


Posted by: lapras

Oui
la trigonométrie marche aussi mais mieux vaut une méthode géométrique comme la tienne.










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