Mathématiques - exercices de la borne supérieure?!!

exercices de la borne supérieure?!!
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Posted by: Non inscrit

bonjour à tous
voila un exercice qui me pérturbe déjà
A et B deux parties non vides et borné de R.
C={abs(a-b);a apparient a A , b de B}
1)montrer que supC existe
2)monter que abs(supA-supB)=<supC

une autre question de cours qui m'enerve:
pouquoi on dit que :
pour que X admette une borne sup, il est evidemment necessaire que X soit majoré.cette condition n'est pas suffisante en générale. ????
je ne comprends plus rien

merci d'avance de votre aide

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Non inscrit

bonjour à tous
voila un exercice qui me pérturbe déjà
A et B deux parties non vides et borné de R.
C={abs(a-b);a apparient a A , b de B}
1)montrer que supC existe
2)monter que abs(supA-supB)=<supC

une autre question de cours qui m'enerve:
pouquoi on dit que :
pour que X admette une borne sup, il est evidemment necessaire que X soit majoré.cette condition n'est pas suffisante en générale. ????
je ne comprends plus rien

merci d'avance de votre aide

Eh bien considère l'ensemble des $\Large u_n$ (n>0) défini par $\Large u_n = \frac {-1^n}{n}$ . Cet ensemble est majoré par 1/2 et tous les nombres supérieurs. Et il ne possède pas de borne supérieure !

Posted by: Non inscrit

Pkoi {Un,n€IN*} n' admettrait pas de borne sup ?

Posted by: khivapia

Je crois que dans l'exemple c'est 1/2 la borne supérieure ?!? vu qu'il majore l'ensemble des Un et qu'en plus il est dedans, c'est même plus qu'une borne sup, c'est le plus grand élément.

Le fait que la condition soit suffisante est une des propriétés dues à la construction de R : pour R, on a "Toute partie non vide majorée admet une borne supérieure" ce qui n'est pas vrai pour Q.

Par exemple ${x\in\mathbb{Q} \ | \ x^2\leq 2}$ admet dans R la borne sup $\sqrt{2}$ mais n'a pas de borne sup dans Q !

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par khivapia

Je crois que dans l'exemple c'est 1/2 la borne supérieure ?!? vu qu'il majore l'ensemble des Un et qu'en plus il est dedans, c'est même plus qu'une borne sup, c'est le plus grand élément.

Le fait que la condition soit suffisante est une des propriétés dues à la construction de R : pour R, on a "Toute partie non vide majorée admet une borne supérieure" ce qui n'est pas vrai pour Q.

Par exemple ${x\in\mathbb{Q} \ | \ x^2\leq 2}$ admet dans R la borne sup $\sqrt{2}$ mais n'a pas de borne sup dans Q !

OOps ! Désolé ! Je crois que j'ai confondu les définitions...
Merci Khivapia de l'avoir signalé.
Pour me rattraper, je proposerai alors dans Q :
$\Large U_n = \frac{p}{n}$ avec $\Large \frac{p^2}{n^2} < 2$ et $\Large \frac{(p+1)^2}{n^2} > 2$ Là les $\Large U_n$ auraient une borne supérieure s'ils étaient défini dans R (qui est $\Large \sqrt{2}$ ) mais n'en ont pas dans Q.
Mes excuses à "non inscrit"