exercice sur produit scalaire

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Posted by: Pfffff

bonjour c'est mon premier message, j'ai un exercice où je nage complétement (d'où le pseudo Pfffff), j'espere que vous pourrez m'aider ce serait sympa

on se place dans l'espace vectoriel réel des polynomes de degrè inférieur ou égal à n avec le produit scalaire f(P, Q)=intégrale entre -1 et 1 de P(t)Q(t)dt

Première question : montrer que l'on peut construire une base orthonormée (Q0,Q1,...,Qn) de cet espace tel que degrè Qi = i et f(Qi,x^i)>0. J'ai pensé à le faire à partir de Gram Schmidt puis pas récurrence mais je bloque complétement

Deuxième question : Il fallait montre que Qi est pair ou impair suivant la parité de i, ça j'ai réussi.

Troisième question et c'est à partir de là que je ne sais plus rien faire :
On a : -1<a1<a2<a3<...<ak<1 la séquence des zéros réels d'ordre impair de Qp(x) avec p>0. On définit R(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-ak). et il faut calculer f(R, Qp), en déduire que k=p et que tous les zéros de Qp(x) sont simples, réels et compris entre -1 et1

Merci d'avance


Posted by: simplet1

On peut sans sortir sans vouloir être constructiviste peut être (jadoore me la jouer :-):

On montre faclement que la dimension de de vect(Pn) ou les Pn sont des polynome de degre n, est n. Comme tt ev fini admet une base, et que d'ap gram-scmidt on peut toujours les normalisser, on conclue!


Posted by: Pfffff

oui mais comment je peux montrer que f(Qi,x^i)>0?


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par Pfffff
oui mais comment je peux montrer que f(Qi,x^i)>0?

C'est dans l'énoncé de l'orthonormalisation de Gram-Schmidt de mon cours de spé. Mais si ce n'est pas dans la version que vous avez vue de ce théorème il faut justifier qu'on peut ajouter cette condition dedans : si on orthonormalise la famille (u_1,...,u_n) en une famille (e_1,...,e_n), pour e_1 on a le choix entre \frac{u_1}{||u_1||} et -\frac{u_1}{||u_1||} , on prend le premier, et dans la récurrence on commence par projeter u_p sur Vect(e_1,...,e_{p-1}), puis normaliser u'_p = u_p - (son projeté), en normalisant on peut prendre \frac{u'_p}{||u'_p||} ou -\frac{u'_p}{||u'_p||} , on choisit le premeir pour avoir le bon signe.










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