exercice nivo sup sur injection surjection

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Posted by: edeniris

bon jour g un exercice a faire et je vois pas tres bien ce que je dois faire si quelqu un pouvais m aider ca serait gentil voici l enoncer:
Soient E et F deux ensembles non vides .
1° On suppose qu'il existe une injection f de E dans F. Construire une surjection de F sur E (pour définir l'image d'un élément x de F, on séparera les cas x appartient f (E) et x n'appartient pas à f (E).
On suppose qu'il existe une surjection de F sur E . Construire une injection de E dans F.


Posted by: aviateurpilot

1) soit f cette injection de E vers F
soitent a\in E et h:E\to f(E)
tel que \forall x\in E:\ h(x)=f(x)
il st clair que h est bijective.
mtn soit g:F\to E tel que:
\{\forall x\in f(E):\ g(x)=h^{-1}(x)\\ \forall x\in F-f(E):\ g(x)=a
on a donc g(F)=g(f(E))\cup g(F-f(E))=h^{-1}(f(E))\cup \{a\}=E\cup \{a\}=E d'ou g est surjective.

2) soit f cette surjection de F vers E
on definie h:E\to F de cette facon
\forall x\in E,\exist h(x)\in F:\ tel\ que\ f(h(x))=x car f est surjective
on a bien h injective


Posted by: edeniris

merci pour ton aide je v lire tt ca pour bien comprendre










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