Exercice marrant

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Posted by: murray

bonjour,
l'exo qui suit a été posé à l'oral de l'X

Soient A et B deux matrices de Mn(R) (ensemble des matrices réelles n*n) n>=1 tel que AB-BA=In (In matrice identité n*n)

montrer que A²=B²


Posted by: abel

Salut, je n'ai pas réussit à resoudre ton truc mais j'ai quelques pistes...en espérant que ca serve pour conclure car je n'arrive pas à aboutir :

Si on transpose l'égalité, qu'on ajoute les membres on conclut rapidement par :

AB = M + I + D ----> où M est antisymetrique, D est diagonale
BA = M + D
Le tout dans une certaine base ON.

j'ai aussi que AB et BA commutent (je ne vois pas l'utilité mais bon...), on peut calculer AB²A et BA²B qui sont égales mais apres je ne vois pas comment extraire...
Si qqun trouve qque chose, ça m'interesse....


Posted by: murray

un conseil: ne te prends pas trop la tête...


Posted by: abel

Je me prend pas la tête mais je m'entraine aussi pour les oraux et j'ai qques exos de l'X qui sont en général trs durs...Tu as ptetr une idée pr résoudre ton truc ? a moins que l'exo soit fumeux...


Posted by: murray

ce que je voulais dire dans mon message précedent c'est que cet exercice est complétement atypique: Il suffit de remarquer une chose et la solution vient tout de suite. En ce sens, je dirais qu'il est extrémement vicieux.


Posted by: abel

Bon...je vois pas alors...de ttes façon j'ai pas été admissible à l'X ....


Posted by: murray

regarde attentivement l' hypothèse de l'énoncé AB-BA=In

Que peux tu dire de cette égalité ?


Posted by: yos

Ca se peut pas à cause de la trace, et comme faux entraine vrai...


Posted by: murray

tout à fait yos ! En fait le résultat à démontrer était bidon. J'aurais pu tout aussi demander de montrer que toute matrice est inversible ou que f(x)=1/x est de classe C infinie. Ce qui est amusant dans cet exercice c'est le type de raisonnement mis en oeuvre, très peu employé en prépa. Je pense que cela a pu déstabiliser à plus d'un titre le candidat qui a eu cet exo.


Posted by: yos

Dans le même genre :
Prouver que si p et 8p²+1 sont des nombres premiers, alors 8p²-1 est aussi premier.


Posted by: abel

Citation:
En ce sens, je dirais qu'il est extrémement vicieux.


Effectivement......


Posted by: murray

désolé si tu as cherché pendant des heures...


Posted by: abel

Ca m'apprendra a avoir un oeil critique sur les énoncés....c'est vrai que j'ai cherché un bon moment...d'ailleurs heureusement que j'ai rien trouvé.

pour "l'exo" de yos :
les 8p²+1 sont tjs divisibles par 3 (merci calculette).
si on prend p=3k+1 on arrive à factoriser 3 dans 8p²+1 et pareil avec 3k-1...

ya ptetr un moyen + élégant de trouver ceci...

En tous cas heureusement que t'as précisé que c'était un exo fumeux sinon...je m'en serais encore payé une bonne tranche.


Posted by: Mikou

"8p²+1 sont tjs divisibles par 3" etonnant ...


Posted by: murray

En raisonnant avec les congruences:

p=0 mod 3 équivaut à p=3 (car p premier) auquel cas 8p²+1=72 divisible par 3

si p=1 mod 3 alors p²=1 mod 3 et 8p²+1=0 mod 3
si p=2 mod 3 alors p²=1 mod 3 et 8p²+1=0 mod 3

Conclusion: p et 8p²+1 ne peuvent en aucun cas être premiers simultanément


Posted by: yos

Citation:
Posté par abel
En tous cas heureusement que t'as précisé que c'était un exo fumeux sinon...je m'en serais encore payé une bonne tranche.


En effet, le fait qu'un exo soit classé dans une certaine catégorie peut changer bien des choses. à sa difficulté. Cet exo est extrait des oraux de CAPES des années 70-80 (livre de Luc Moisotte très riche).
Il faut en effet remarquer que le carré d'un entier non multiple de 3 est congru à 1 modulo 3 . Ensuite on regarde le cas p=3.


Posted by: mln

Citation:
Posté par murray
p=0 mod 3 équivaut à p=3 (car p premier) auquel cas 8p²+1=72 divisible par 3
si p=1 mod 3 alors p²=1 mod 3 et 8p²+1=0 mod 3
si p=2 mod 3 alors p²=1 mod 3 et 8p²+1=0 mod 3

Si p=3 alors 8p²+1=73 qui est premier.

donc (p premier et 8p²+1 premier) <=> p=3
pour p=3, 8p²-1(=71) est premier.

sympas ces exos.


Posted by: murray

Ah oui c'est vrai je ne sais même plus faire des additions! lol!
merci pour ta correction mln


Posted by: mapuche

bonjour,

desolé de faire remonter ce sujet qui date un peu

je trouve ce type de sujet très intéressant, mais étant néophyte dans le monde des matrices, je ne comprend pas pourquoi AB-BA=In est faux

Citation:
Posté par yos
Ca se peut pas à cause de la trace, et comme faux entraine vrai...


question qui peut paraitre bete, c'est quoi la trace ?


merci de vos réponses


Posted by: Joker62

la trace c'est la somme des éléments de la diagonale d'une matrice
On a Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) (logique)
Tr(AB) = Tr(BA)

Donc de l'égalité on en tire : Tr(AB - BA) = Tr(In) = n = Tr(AB)-Tr(BA) = Tr(AB)-Tr(AB) = 0

n=0 :^)


Posted by: mapuche

Merci bcp.










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