Exercice Logarithme Népérien

[Anonyme]

Bonsoir,

J'ai une DM pour demain avec un exercice concernant l'étude d'une fonction logarithme auquel je ne comprend absolumment rien :(

Si quelqu'un pourrait me donner un coup de main, je lui en serait grandement reconnaissant !

Le voici:
Le plan est muni d'un repère (O;i;j) d'unité graphique 1cm.

1 On considère la fonction g définie sur ]1,+00[ par: g(x)=ax+(b/lnx).
Déterminer les réels a et b pour que la représentation graphique T de g dans (0;i;j) coupe l'axe (0;i) au point E d'abscisse e et que la tangente à T soit // à la droite d'équation y=2x.

2 On considère la fonction f définie sur ]1, +00[ par: f(x)=x-(e/lnx). Soit C sa représdentation graphique dans (0;i;j).
a) Calculer les limites de f en 1 et en +00. En donner une interprétation graphique.
b) Sans dérivation, étudier les variations de f et dresser son tableau de variations sur ]1; +00[.

3 Comment peut-on déduire la représentation graphique de |f| de celle de f, où |f| est la valeur absolue de la fonction f.

[Anonyme]

1ère question:
la représentation graphique T de g dans (0;i;j) coupe l'axe (0;i) au point E d'abscisse e ce qui signifie que g(e) = 0 (1)
la tangente à T est // à la droite d'équation y=2x ce qui signifie que g'(e) = 2 (2)

En remplaçant ces deux conditions dans g(x)=ax+(b/lnx), on obtient :
(1) donne ae + b = 0 (car ln e = 1)
(2) donne a - b/e = 2
Si on résout ce système deux équations deux inconnues, on trouve a= 1 et b= - 1.
d'où g(x)=x-(e/lnx)
Ce sont d'ailleurs les valeurs trouvées dans la suite de l'exercice.