Coucou, je reviens avec un nouvel exo que je fais en supplémentaire (mais dont je m'en sors pas !!)
Voilà : L'objectif est de calculer la somme de la série dont le terme général Un est :
Un = ln [1 + 2/(n (n+3) )] ( n € N*)
a) Montrer que l'ont peut écrire Un = [ln(n+1)-ln(n)] - [ln(n+3)-ln(n+2)]
b) Simplifier Sn = somme Un (de n=1 à N)
c) En déduire la somme de la série
Le but étant de comprendre l'exo, le plus de détails possible est le bienvenu !!!
Merchi d'avance et bonne soirée !
Posted by: Clise
Pour la question a, il suffit de réduire au même dénominateur, développer puis factoriser et enfin utiliser les propriétés de ln.
Pour la question b, essaye en séparant les sommes et faisant un changement d'indices.
Pour la question c, somme de la série = limite quand n tend vers + l'infinie de Sn
Posted by: Nikimizi
La première question n'était pas bien compliquée certes et elle est faite , je bloque surtout pour la méthode de la 2 ayant énormément de mal avec les séries ...
Posted by: Clise
Tu dois décomposer les sommes,
Sum (1 à N) Un = { sum(n=1 à N) ln(n+1) - sum(n=1 à N) ln(n) } - { sum(n=1 à N) ln(n+3) - sum(n=1 à N) ln(n+2) }
Tu vois que les sommes sont les mêmes a un indices près, en faisant un changement d'indices, essaye d'exprimer chaque somme en fonction de ln(n) et tu vas voir ça va se simplifier.
Posted by: Nikimizi
Je comprends le raisonnement mais n'arrive pas à l'appliquer :/
C'est en réalité un exercice tiré du DS de l'année dernière que je fais en supplément et je suis un peu perdu sur le coup.
merci pour ton aide en tout cas ça m'éclaire un petit peu ^^
Posted by: Clise
heu ... pas vraiment tu vois qu'entre sum(n=1 à N) ln(n+1) et sum(n=1 à N) ln(n) il y a le même nombre de termes (c'est à dire N) puisque n varie de 1 à N dans les deux cas.
par contre tu vois qu'ils sont décaler d'un rang.
Par exemple si je prends un exemple N = 3 histoire de pas en écrire trop
sum(n=1 à N) ln(n) = sum(n=1 à 3) ln(n) = ln(1) + ln(2) + ln(3)
sum(n=1 à N) ln(n+1) = sum(n=1 à 3) ln(n+1) = ln(2) + ln(3) + ln(4)
donc en soustrayant les deux, tu vois que ça se simplifie... Essaye maintenant de faire la même chose avec N.
Posted by: Nikimizi
ok! c'est compris mici
je me retrouve avec :
ln(3)+ln(n+1)-ln(n+3) pour la somme de la série est-ce exact ?
Posted by: Clise
Oui, c'est ça ! ^^
Posted by: Nikimizi
Donc en gros tend vers ln(3) pour n->+oo
ca gère merci du coup de pouce :) !! ^^
Posted by: Clise
Oui, c'est ça mais attention a la justification, on ne peut pas additionner des équivalent ;)
