Exercice sur les Groupes

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Posted by: Codeman

Bonsoir à tous.
Voila, je galère sur un exercice concernant les groupes,
Pouvez vous m'aider? Voici l'énnoncé :

Soit (G,.) un groupe fini d'éléments neutre e vérifiant, pour tout x € G, x.x=e
1)Montrer que (G,.) est un groupe abélien
2)Soit (H,.) un sous groupe de (G,.) et soit a€G,a€/H (a n'appartient pas à H).
On note a.H={a.h/h€H}. Verifier que H n a.H = ensemble vide (n = inter)
3)Montrer que H U a.H est sous groupe de (G,.) (U = union)
4)Montrer que le cardinal de G est une puissance de 2


D'avance, merci !


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Codeman
Bonsoir à tous.
Voila, je galère sur un exercice concernant les groupes,
Pouvez vous m'aider? Voici l'énnoncé :

Soit (G,.) un groupe fini d'éléments neutre e vérifiant, pour tout x € G, x.x=e
1)Montrer que (G,.) est un groupe abélien
2)Soit (H,.) un sous groupe de (G,.) et soit a€G,a€/H (a n'appartient pas à H).
On note a.H={a.h/h€H}. Verifier que H n a.H = ensemble vide (n = inter)
3)Montrer que H U a.H est sous groupe de (G,.) (U = union)
4)Montrer que le cardinal de G est une puissance de 2


D'avance, merci !

1) (xy)(xy)=e
(xy)(yx)=x(yy)x=xex=xx=e
Donc xy=yx
---> Groupe Abélien

2) Montrons que ah ne peut appartenir à H. Supposons que h'=ah avec h' appartenant à H. Alors, a=h'(h^-1) appartenant à H, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc aucun ah n'appartient à H.
3) Le produit de deux éléments de H appartient à H.
Le produit (a.h1)(a.h2) de deux éléments de a.H appartient à a.H :
ah1ah2=aah1h2=eh1h2=h1h2
Le produit d'un élément de H et d'un élément de a.H appartient à a.H :
h1 .(a.h2)=a.h1h2=a.(h1h2) (h1h2 appartient à H)
Donc H U a.H est sous-groupe

4) Or le cardinal de H U a.H est égal au cardinal de H ajouté au cardinal de a.H et comme les ensembles sont disjoints : Card(H U a.H)=2*Card(H)

Soit H0={e} le plus petit groupe : Card(H0)=1=2^0. Soit un élément a1 de G n'appartenant pas à H0. Soit H1 le groupe (H0 U a1.H0) : Card(H1)=2*Card(H0)=2^1.

Soit un élément a2 n'appartenant pas à H1. Soit H2 le groupe (H1 U a2.H1)
Card(H2)=2*Card(H1)=2^2.

Et ainsi de suite on forme H3,H4,...Hn jusqu'à ce que tous les éléments de G soient pris (G est fini). A la fin Hn=G et Card(Hn)=2^n


Posted by: Codeman

Merci beaucoup chimerade !

Je vais essayer de bien reprendre tes explications, car étant donné que je commence tout juste à travailler sur les groupes, je galère un peu !

Merci encore !


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Codeman
Je vais essayer de bien reprendre tes explications


Ya intérêt ! Sinon à quoi ça sert que je me décarcasse ?










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