Exercice sur fonction derivable

[Zaze]

Voila, encore un autre petit exerciceincompris de ma part.

Soit f la fonction definie par :

f(x)= (x-1)² / (x+1)

et Cf sa courbe representative dans le plan rapporte a un repere orthonormal ou l'unite graphique est le cm.

1°Montrer que f est derivable sur son ensemble de definition Df et calculer f '(x).

2°
a. Etudier le signe de f '(x) sur Df.
b. En deduire les variations de f.
c. Dresser le tableau de variation de f.

3°Montrer qu'il existe trois reels a, b et c tels que pour tout x de Df :
f(x) = ax + b + c/(x+1)

4°Soit D la droite d'equation y = ax + b ou a et b sont les reels precedents.
a. Etablir la courbe Cf est au-dessus de la droite D quand x appartient a l'intervalle I.
b. Pour un x de I, on note d(x) la distance entre les points de D et de Cf de meme abscisse x. Montrer que cette distance diminue lorsque x augmente.
c. Si l'on utilise de 0.5mm pour tracer la courbe, a partir de quelles valeurs de x ne fera-t-on plus la difference entre D et Cf ?

Voila, je sais ca fait beaucoup mais je demande pas les reponses, mais des aides. ^^

Sinon, la 1°, elle est facile, je vais vous montrer ma reponse :

Df = R / {-1}

La fonction f est le quotient des fonctions u et v tel que :
u(x) = (x - 1)² et v(x) = x + 1

Pour la fonction u, il faut differencier les deux composé de la fonction en deux fonctions g et h tels que :
g(x) = x² g'(x) = 2x
h(x) = x-1 h'(x) = 1

Et u(x) = goh(x) donc u'(x) = g'(h(x)) * h'(x) = 2(x-1)+1 = 2x - 1
Et v'(x) = 1

f '(x) = (u/v)'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²
f '(x) = [ (2x-1)(x+1) - (x-1)² * 1 ] / (x+1)²
Apres developpement :
f '(x) = (x²ß2) / (x²+2x+1)

Le trinome du second degre au denominateur :
delta = b² - 4ac = 2² - 4*1*1 =0
Solution double :
x = -b / 2a = -2 / 2*1 = -1

Donc Df' = Df = R / {-1}


Voila, dites moi si j'ai deja fait une erreur. Merci de vos futurs coups de pouce.

[hellow3]

Voila, encore un autre petit exerciceincompris de ma part.

Soit f la fonction definie par :

f(x)= (x-1)² / (x+1)

et Cf sa courbe representative dans le plan rapporte a un repere orthonormal ou l'unite graphique est le cm.

1°Montrer que f est derivable sur son ensemble de definition Df et calculer f '(x).

2°
a. Etudier le signe de f '(x) sur Df.
b. En deduire les variations de f.
c. Dresser le tableau de variation de f.

3°Montrer qu'il existe trois reels a, b et c tels que pour tout x de Df :
f(x) = ax + b + c/(x+1)

4°Soit D la droite d'equation y = ax + b ou a et b sont les reels precedents.
a. Etablir la courbe Cf est au-dessus de la droite D quand x appartient a l'intervalle I.
b. Pour un x de I, on note d(x) la distance entre les points de D et de Cf de meme abscisse x. Montrer que cette distance diminue lorsque x augmente.
c. Si l'on utilise de 0.5mm pour tracer la courbe, a partir de quelles valeurs de x ne fera-t-on plus la difference entre D et Cf ?

Voila, je sais ca fait beaucoup mais je demande pas les reponses, mais des aides. ^^

Sinon, la 1°, elle est facile, je vais vous montrer ma reponse :

Df = R / {-1}

La fonction f est le quotient des fonctions u et v tel que :
u(x) = (x - 1)² et v(x) = x + 1

Pour la fonction u, il faut differencier les deux composé de la fonction en deux fonctions g et h tels que :
g(x) = x² g'(x) = 2x
h(x) = x-1 h'(x) = 1

Et u(x) = goh(x) donc u'(x) = g'(h(x)) * h'(x) = 2(x-1)+1 = 2x - 1
Presque: t'as fait une petite erreur de calcul: c'est pas 2(x-1)+1 mais 2(x-1)*1=2(x-1)
Et v'(x) = 1

f '(x) = (u/v)'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²
f '(x) = [ (2x-1)(x+1) - (x-1)² * 1 ] / (x+1)²
Apres developpement :
f '(x) = (x²ß2) / (x²+2x+1)

Le trinome du second degre au denominateur :
delta = b² - 4ac = 2² - 4*1*1 =0
Solution double :
x = -b / 2a = -2 / 2*1 = -1

Donc Df' = Df = R / {-1}


Voila, dites moi si j'ai deja fait une erreur. Merci de vos futurs coups de pouce.

Faut que tu reprennes la suite avec ce que je t'ai dis.