Exercice espaces vectoriels (débutant)

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: enkill

Bonjour,

J'ai trouvé un exercice sur le net et je ne vois vraiment pas comment le résoudre:

Il s'agit de montrer qu'un système de vecteurs (1;racine de 2; racine de 3) est libre dans R considéré comme Q-espace vectoriel.

N'ayant que la définition d'un EV, comment puis-je m'y prendre??

Il faut trouver trois scalaires a,b,c de Q tels que
a+bV2+cV3 = 0 => a=b=c=0. (V pour racine)
Mais nous n'avons pas de système d'équations à résoudre. Faut il supposer que l'un n'est pas nul et voir si cela nous conduit à une contradiction??


Posted by: quinto

Citation:
Posté par enkill
Faut il supposer que l'un n'est pas nul et voir si cela nous conduit à une contradiction??



Oui, par exemple en isolant une racine d'un coté et en élevant au carré.


Posted by: enkill

Merci pour cette réponse. Je vais essayer ça et voir où ça me mène.


Posted by: abcd22

Bonjour,
Citation:
Posté par enkill
Il faut trouver trois scalaires a,b,c de Q tels que
a+bV2+cV3 = 0 => a=b=c=0. (V pour racine)

Non pour montrer que 1, √2 et √3 sont libres sur ℚ il faut montrer l'implication que tu as écrite mais pas « trouver trois scalaires a,b,c de ℚ tels que » (sinon il suffirait de prendre a = b = c = 0 et on ne montre rien...), il y a une partie sous-entendue dans l'implication, en entier c'est « quels que soient a, b, c ∈ ℚ, si a + b √2 + c √T3 = 0, alors a = b = c = 0 », c'est d'ailleurs bien ce que tu essaies de montrer d'après la suite de ton message, mais ce n'est pas ce que tu as écrit dans la partie que je cite.










-