Etude de la parité d'une fonction non centrée en 0 ?

[Ombre]

Bonsoir tout le monde

J'essaie de faire cet exercice :

"On considère la fonction f définie pour tout par :

1. Etudier la parité de la fonction f.

2. Démontrer que

3.Démontrer que la fonction est minorée par -1
"

Bon ça parait pas bien compliqué, j'ai bien compris que la fonction f était une translation de la fonction , seulement je sais pas comment démontrer/ecrire ça, je l'ai pas étudié. Je sais que la deuxième question est censée m'aider mais j'aimerais bien une idée du vocabulaire et de la logique la plus appropriée a l'étude de la parité de la fonction f

Merci beaucoup !

[Imod]

Passons la 2 pour le moment , que proposes-tu pour 1 et 3 ?

Imod

[Ombre]

ben la deux est pas compliquée , il s'agit juste de développer et de re-factoriser la fonction.

pour la 1.

1. Le domaine de definition Df = R est symmetrique sur R

Testons la parité pour une valeur de x

f(1) = 1(1-2) = -1
f(-1) = 3
-f(1) = 1

Donc f n'est ni paire ni impaire sur R.

Toutefois, si on factorise la fonction f sous la forme il apparait que la fonction f est une translation de la fonction carrée , soit f(x +1) +1 = g(x).
Etant donné que l'on sait la fonction paire dans le repere pour 0(0, 0), on peut affirmer que la fonction f(x) est paire dans le repère pour 0(1, -1)

Voila comme j'ai fait, sachant que j'ai jamais appris a faire une translation de repère ! (Seulement des translations de courbes) Donc je sais que mon raisonnement est bon mais j'aimerais connaitre la bonne forme et le bon vocabulaire .Et même si ça parait évident. Pour information , je suis au CNED, en remise a niveau ,je n'ai pas de prof a qui demander, c'est pour ça que je poste ici :we:

pour la trois :

3. Pour demontrer que la fonction est minorée en -1, resolvons l'equation

f(x) = -1
soit
x(x-2) = -1
donc

donc x =1

En revanche l'inéquation f(x) < -1 n'accepte pas de solution, car l'equation n'accepte pas de solution. On peut donc dire que pour tout , donc que f(x) est minorée en -1

et puis la 2. Pendant qu'on y est

2.

donc

[Imod]

1. Le domaine de definition Df = R est symmetrique sur R

Testons la parité pour une valeur de x

f(1) = 1(1-2) = -1
f(-1) = 3
-f(1) = 1

Donc f n'est ni paire ni impaire sur R.

La 1. est finie !

Toutefois, si on factorise la fonction f sous la forme il apparait que la fonction f est une translation de la fonction carrée , soit f(x +1) +1 = g(x).
Etant donné que l'on sait la fonction paire dans le repere pour 0(0, 0), on peut affirmer que la fonction f(x) est paire dans le repère pour 0(1, -1)

Tu dépasses la question , tu montres que (O,i) est un axe de symétrie de la coube représentant f ( attention , tu as deux points O ) .

3. Pour demontrer que la fonction est minorée en -1, resolvons l'equation

f(x) = -1
soit
x(x-2) = -1
donc

donc x =1

En revanche l'inéquation f(x) < -1 n'accepte pas de solution, car l'equation n'accepte pas de solution. On peut donc dire que pour tout , donc que f(x) est minorée en -1

car , le reste ne sert à rien !

2.

donc

Rien à dire :we:

Imod

[sxmwoody]

Ombre: parité d'une fonction: remplacer x par (-x)
si f(-x)=f(x) fonction paire se rappeler tous les coeff. de x doivent être pairs!(x^0 est pair...)
si f(-x)=-f(-x) fonction impaire tous les coeff. doivent être impairs!!
Ici on voit que si on fait un changement de variable: X=(x-1) on peut alors écrire:
X²-1 ou X²-X^0 -1 ...la fonction est alors paire dans son nouveau système d'axe : X =x-1 et y
3) (x-1)² est minimum pour x=1 -1 est donc le minimum
plus simple f(x)=x(x-2)=x²-2x f'(x)= 2x-2 le minimum est bien pour x=1 (parabole vers le haut et f'(x) change de signe pour x=1) !!!