étude de fonction

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flipper
Messages: 5
Enregistré le: 15 Oct 2007, 09:25

étude de fonction

par flipper » 15 Oct 2007, 09:47

Bonjour, j'ai cet exercice à faire et je voudrais un peu d'aide...

On considère la fonction f définie sur IR par:
f (x) = ;)(xcarré+valeur absolu de x)

On note T la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( 0 ,. i ,. J) d’unité graphique 2 cm.

Partie A : étude de f
1. Montrer que la courbe T est symétrique par rapport à l'axe (0 ;J)
2. Déterminer les limites de f en +00 et en -00.
3. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en zéro. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
4. Prouver que f est strictement croissante sur [0 ,. +OO[ sans recourir à la dérivée de f
5. Dresser le tableau de variations de f sur IR.

Partie B : asymptotes à T
Soit ;) la droite d'équation y = x + 1/2

1. a. Montrer que ;) est asymptote oblique à T au voisinage de +00.
b. Préciser la position relative de T et ;).
2. Prouver que T admet une autre asymptote dont on donnera une équation.
3. Tracer la courbe T et ses deux asymptotes.

Partie C : résolution d'une équation
Soit n un entier naturel non nul.

1. Montrer que l'équation d'inconnue x, f (x) = n admet une solution unique sur l'intervalle [0 ,. + 00 [ . On note Un cette solution.
2. Exprimer Un en fonction de n.

J'ai commencé l'exercice:
Partie A:
1) je sais que la fonction x carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnés; la fonction racine carré prend donc les caractéristiques de X carré soi T symétrique par rapport à laxe (o;j)

2) limite quand x tend vers +00 f(x) tend vers +00
et limite quand x tend vers -00 f(x) tend vers +00.

3) Après je ne sais pas comment procédé. J'ai essayé avec le taux d'accroissement mais je n'arrive pas a tomber sur u limite finie. et pour la continuité je ne sais pas du tout.

Merci d'avance pour votre aide....
(si vous pouviez me donner des pistes pour les autres questions aussi). Je vais essayer de répondre à d'autres questions en atendant..



tats1109
Membre Naturel
Messages: 18
Enregistré le: 20 Sep 2007, 12:00

par tats1109 » 15 Oct 2007, 15:48

Partie A:
1) je sais que la fonction x carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnés; la fonction racine carré prend donc les caractéristiques de X carré soi T symétrique par rapport à laxe (o;j) => oui mais je propose pour plus de rigueur de démontrer que f(x) = f(-x) (Comme tu as des valeurs absolues, c'est facile :we: )

2) limite quand x tend vers +00 f(x) tend vers +00
et limite quand x tend vers -00 f(x) tend vers +00 (oui puisque tu viens de démonter que la fonction était symétrique par rapport à (0,j)

3)* Étudier la continuité de f en zéro il faut calculer f(0+) et f(0-) et dire si c'est = ou pas. Si oui, f est continue en 0

f (0+) = ;)((0+)carré+valeur absolu de (0+)) = 0+

f (0-) = ;)((0-)carré+valeur absolu de (0-)) = 0+

*Étudier la dérivabilité de f en zéro il faut calculer f '(0+) et f '(0-) et dire si c'est = ou pas. Si oui, f est dérivable en 0

Calculons f'(x)...
f(x) est de la forme f = ;)u d'où f' = u'/(2;)u )
Pour x positif, u' (x)=2x + 1
Pour x négatif, u' (x) = 2x - 1

On voit bien que f' (0+) f'(0-) f n'est pas dérivable en 0

4. Prouver que f est strictement croissante sur [0 ,. +OO[ sans recourir à la dérivée de f ... là je crois qu'il va falloir recourir à un vieux théorème vu en 1ère sur la somme de fonctions positives, ...non non mieux, la composée de fonction croissante (sur [0,+00[

5. Dresser le tableau de variations de f sur IR
... n'oublie pas qu'il y a symétrie :happy2:

Partie B : asymptotes à T
Soit ;) la droite d'équation y = x + 1/2

1. a. Il faut que tu montres que lim [f(x)-équation de (T)]= 0 quand x tend vers +00.
b. Il faut que tu étudies le signe de f(x)-équation de (T)
si f(x)-équation de (T) >0 alors C au dessus de ;)
si f(x)-équation de (T) >0 alors C au dessous de ;)
si f(x)-équation de (T) = 0 alors C et ;) se coupent
2. Prouver que T admet une autre asymptote dont on donnera une équation... pense à la symétrie :zen:

Partie C : résolution d'une équation
Soit n un entier naturel non nul.

1. Montrer que l'équation d'inconnue x, f (x) = n admet une solution unique sur l'intervalle [0 ,. + 00 [ . On note Un cette solution... il faut montrer que f est bijective...voir cours

flipper
Messages: 5
Enregistré le: 15 Oct 2007, 09:25

par flipper » 17 Oct 2007, 09:42

merci pour ton aide tats 1109.

 

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