dans des exos où intervient la permutation des signes integrale et sommation,
on applique le plus souvent le théoreme d'integration terme à terme. Cependant
il y a des cas où on peut s'en dispenser, par exemple le cas suivant:
si j'ai à calculer A=int ( f(t), sur I ) et que f(t) est développable en serie
entiere sur un intervalle inclus strictement dans I: f(t)=sum (ak*x^k) , je
peux intervertir directement sommation et integrale car j'ai convergence
normale de sum(ak*x^k) sur [-a,a] inclus dans I, ok.
Cependant si A=int ( f(t), t=-R..R) avec R le rayon de convergence de f(t)=sum
(ak*x^k), a t on le même resultat? Car en t=R on ne connait pas la
convergence...
merci
Posted by: Denis
Le 16/02/04 17:12 , Wenceslas a exprimé son opinion en les termes suivants:
> Bonjour,
Bonjour,
> si j'ai à calculer A=int ( f(t), sur I ) et que f(t) est développable en série
> entière sur un intervalle inclus strictement dans I: f(t)=sum (ak*x^k) , je
> peux intervertir directement sommation et intégrale car j'ai convergence
> normale de sum(ak*x^k) sur [-a,a] inclus dans I, ok.
>
> Cependant si A=int ( f(t), t=-R..R) avec R le rayon de convergencede f(t)=sum
> (ak*x^k), a t on le même résultat? Car en t=R on ne connaît pasla
> convergence...
J'ai deux solutions à te proposer. Aucune des deux ne me semble
satisfaisante parce que je suis pas certain de ce que j'écris mais c'est
comme ça que je justifierai le fait d'intervertir somme et intégrale:
* Si le rayon vaut R, tu calcule l'intégrale entre -r et r pour 0<r<R,
et tu fais tendre r vers R. Si ta fonction est intégrable sur ]-R,R[,
par le théorème de Lebesgue, tu dois avoir la bonne convergence.
* Sinon, peut-être connais-tu le théorème d'Abel qui dit que s'il la
somme des a_k*R^k converge, alors il y a convergence uniforme sur un
secteur angulaire d'angle < à Pi/2 d'origine le point R (dans C). S'il y
a convergence en R et en -R, l'intersection de ces deux secteurs
angulaires doit te fournir une convergence uniforme dans C qui te permet
d'intervertir intégrale et somme mais je suis moins sûr de moi pour le coup.
> merci
Si je t'ai aidé....
--
Denis
Pour me joindre, enlever les _ !
Le paradis existe, le lion et l'agneau partagent la même couche. Mais
l'agneau ne dort pas beaucoup. C'est dérivé de W.Allen, je crois.
Posted by: Philippe Tejedor
J'applique souvent ce résultats en intégrant sur R...
Comme autre méthode pour intervertir, je proposerais le théorème de cv
monotone appliqué au series positives et la méthode des séries si f =
Phi/(1-g(t)), avec abs(g(t))<1