Mathématiques - ker et image d'une application lineaire

ker et image d'une application lineaire
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Posted by: peli_123

salut
j'ai un exo corrige provenant d'un livre mais je ne parviens pas a comprendre une etape de la resolution d'un systeme d'equation.
Dans le cadre des applications lineaires cet exercice, nous permet de trouver le ker.J'ai compris que le ker de f(x,y,z) est l'ensemble des x,y,z tel que f(x,y,z)=0
(en gros f:(x,y,z)->0)
$ker f ={(x,y,z)\in R^3| f((x,y,z))=(0,0)={(x,y,z)\in R^3 |3x+2y-z=0 et x+y+z=0},$
$or \ {3x+2y-z=0,x+y+z=0 \ <=>$
$3x+2y-z=0,-y-4z=0 \ <=>$
$3x+2y-z=0,y=-4z\ <=>$
${x=3z,y=-4z,z=z$

j'ai un probleme a ce passage
$\ {3x+2y-z=0,x+y+z=0 \ <=>$
$3x+2y-z=0,-y-4z=0$
comment fait on pour passer de
$\ {3x+2y-z=0,x+y+z=0 <=>$
a
$3x+2y-z=0,-y-4z=0 \ <=>$

edit:emission avant le terme du sujet

Posted by: Rain'

tu dis que par la deuxième équation x = -y -z et tu remplaces x par ça dans la première.

Posted by: peli_123

pour mon estime personnelle tu as vu ca du premier coup?

Posted by: Rain'

Entre le début et la fin la première équation n'a pas bougé donc on y touche pas.

Dans la deuxième les x ont disparu donc on a du les isoler quelque part.
3x+2y-z=0
x+y+z=0

Quitte à isoler x dans une des deux , vaut mieux la deuxième c'est relativement plus simple donc x = -y-z.

Après y a plus vraiment de choix pour savoir où remplacer.

Posted by: peli_123

ok merci pour ta reponse

Posted by: flight

salut

on a le systeme x+y+z= 0 (1)
3x+2y-z=0 (2)

soit 3x+3y+3z=0 (x3)
3x+2y-z = 0
soit en faisant (1) - (2) il vient y= 4z
et de (1) il decoule que x= 3z on exprime les inconnues principales en fonction des inconnues secondaires.

soit kerf={(x,y,z) appart à R^3/ (3z,4z,z )}
soit kerf=vect{(3,4,1)} et kerf est une direction vectorielle

Posted by: flight

erreur ici:

soit kerf={(x,y,z) appart à R^3/ (3z,4z,z )}
soit kerf=vect{(3,4,1)} et kerf est une direction vectorielle

lire

soit kerf={(x,y,z) appart à R^3/ (3z,-4z,z )}
soit kerf=vect{(3,-4,1)} et kerf est une direction vectorielle

Posted by: peli_123

quel est le ker de cette application
$f(x,y,z)=(x+2y-z,3x-y+2z$
moi je trouve $ \left( \begin{array}{c } 3/2 \\ \\ 1 \\ \\ 7/2 \end{array} \right) $
mais en verifiant ce n'est valable que pour la premiere
equation
j'ai retranche 3 la l1 de l2
j'ai isole z par rapport a y z=7/2 *y
enfin j'ai utilise la relation z=7/2 *y dans la premiere equation
ou ai je fais l'erreur?

Posted by: sarmate

Citation:

Posté par peli_123

quel est le ker de cette application
$f(x,y,z)=(x+2y-z,3x-y+2z$
moi je trouve $ \left( \begin{array}{c } 3/2 \\ \\ 1 \\ \\ 7/2 \end{array} \right) $
mais en verifiant ce n'est valable que pour la premiere
equation
j'ai retranche 3 la l1 de l2
j'ai isole z par rapport a y z=7/2 *y
enfin j'ai utilise la relation z=7/2 *y dans la premiere equation
ou ai je fais l'erreur?

Bonjour.

Tout d'abord, le noyau d'une application linéaire est un sev de l'espace de départ, donc ici de $R^3$ .
Pour le trouver tu résouds le système comme tu as fait, mais il y a une erreur de calcul :

On a en fait $ Ker f=vect\left( \begin{array}{c } -3 \\ \\ 5 \\ \\ 7 \end{array} \right) $

Posted by: peli_123

merci de ton aide sarmate
$ \left\{ \begin{array} x+2y-z=0 \\ 3x-y+2z=0 \end{array} \right. $
je retranche 3 fois la ligne 1 de la ligne 2
$ \left\{ \begin{array} x+2y-z=0\\ -7y+z=0 \end{array} \right. $
j'isole z
$ \left\{ \begin{array} x=-2y+z\\ z=-7y \end{array} \right. $
je remplace z dans la premiere equation
$ \left\{ \begin{array} -2y+7y=0\\ z=-7y \end{array} \right. $
je trouve ca
$ \left$ \begin{array} x=5y\\ y=y \\ z=-7y \end{array} \right$. $

Posted by: sarmate

lorsque tu retranches 3 fois la ligne 1 à la ligne 2 il me semble que cela donne :

7y+5z=0 et donc que $\displaystyle{z=\frac{7}{5}y}$

Si tu ajoutes ensuite 2 fois la ligne 1 à la ligne 2, tu obtiens :

$5x+3y=0$ d'où $\displaystyle{x=-\frac{3}{5}y}$

Ainsi on voit que la solution du système dépend du paramètre y (donc le noyau est de dimension 1), on remplace ensuite y par la valeur de notre choix (sauf 0) pour obtenir une base du noyau. On peut choisir y=5, ce qui donne les coordonnées que je t'ai écrites plus haut.

Ou encore tu peux écrire que les élèments du noyau sont de la forme :

$ker f=\{\left(\begin{tabular}{c}-3t\\5t\\7t\end{tabular}\right), t\in\mathbb{R}\}$

Tu peux alors vérifier que de tels vecteurs vérifient bien les équations définissant le noyau.

Je peux te conseiller également, pour que tu puisses gagner du temps, d'utiliser le logiciel Maxima (qui est gratuit car sous licence GNU/GPL), tu le trouveras à l'adresse suivante :

http://sourceforge.net/project/show...lease_id=505664

L'utilisation en est très intuitive, et en ce qui concerne ton système il faut taper :

linsolve([x+2*y-z=0, 3*x-y+2*z=0], [x,y,z]);