b est une puissance de a

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Imod

Bonjour à tous,

un exercice qui n'est pas un exercice d'olympiade mais qui aurait pu l'être .
On se donne un entier a strictement supérieur à 1 et pour b réel donné la propriété :
P_b: \forall n \in \mathbb{N} \ : \ \frac{b^n-1}{a^n-1}\in \mathbb{N} .
Montrer que les seuls réels b vérifiant Pb sont les puissances entières positives de a c'est à dire b=a^n\text{ avec } n \in \mathbb{N} .

Bon courage , Imod

PS : j'ai une solution , réellement monstrueuse , quelqu'un en trouvera-t-il une plus astucieuse ?


Posted by: BancH

Avec la congruence on peut déjà faire quelque chose.

On note a^n=A

Pour le dénominateur, on a:

A-1\equiv0[A-1]

Pour le numérateur:

A-1\equiv 0[A-1]
A^2-1\equiv (A-1)(A+1)+1-1\equiv0[A-1]
A^3-1 \equiv A(A+1)(A-1)+1-1 \equiv 0[A-1]

On voit bien qu'il y a récurrence, donc A^m-1\equiv0[A-1]

Et donc \frac{A^n-1}{A-1}=\frac{b^n-1}{a^n-1}\in \mathbb{N} si b=a^m

Mais on n'a pas montré que c'est les seules solutions.


Posted by: Imod

Tout à fait Banch , c'est la réciproque qui est vraiment coton , bon courage .

Imod


Posted by: BiZi

Bonjour,

Comme (b-1)/(a-1) est un entier naturel et que a-1 est un entier naturel, b-1 est aussi un entier naturel et finalement b est un entier naturel.

On peut déjà montrer que l'ensemble des diviseurs de b est inclus dans l'ensemble des diviseurs de a.
Soit p un diviseur de b. Raisonnons par l'absurde et supposons que p ne divise pas a. D'après le petit théorème de Fermat, on a alors a^(p-1)=1 modulo (p) d'où p divise a^(p-1)-1. Or a^(p-1)-1 divise b^(p-1)-1 ce qui est absurde.

Ensuite, on pourrait montrer que réciproquement l'ensemble des diviseurs de a est inclus dans l'ensemble des diviseurs de b. Enfin, il faudrait travailler sur les valuations p-adiques pour conclure.

Sur ce, je vous laisse


Posted by: Imod

Citation:
Posté par BiZi
Enfin, il faudrait travailler sur les valuations p-adiques pour conclure.

Sur ce, je vous laisse

Inutile de faire appel à l'artillerie lourde ( l'exercice peut-être résolu niveau BAC ) d'autant qu'ici je ne vois pas le rapport avec les valuations p-adiques ( mais je ne suis pas un spécialiste )

Imod


Posted by: BiZi

Mais pourquoi tout le monde s'affole dès qu'on parle de valuations p-adiques? C'est juste une façon un peu pédante de parler de la décomposition en facteurs premiers qui elle est sans problème au programme de terminale (et surtout plus qu'une façon pédante c'est une façon bien plus courte et pratique d'en parler).


Si l'on prouve que l'ensemble des diviseurs premiers de a=l'ensemble des diviseurs premiers de b, il est logique de s'intéresser ensuite aux valuations p-adiques, non?


Posted by: Imod

Citation:
Posté par BiZi
Si l'on prouve que l'ensemble des diviseurs premiers de a=l'ensemble des diviseurs premiers de b, il est logique de s'intéresser ensuite aux valuations p-adiques, non?


Oui , mais l'ensemble des diviseurs premiers de a et b peut très bien être le même sans que b soit une puissance de a , je ne vois pas de piste sérieuse avec cette approche . Il ne suffit pas de balancer des idées en l'air , il faut argumenter .

Imod ( que les valuations p-adiques n'affolent pas ) .










-