Mathématiques - espérance

espérance
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Posted by: yonyon

Bonjour, j'ai un problème dans un exo de proba, où je trouve
P(X=k)=1/2^k et où je dois calculer l'espérance de X, mais je ne vois pas comment faire, j'ai:
$E(X)= \lim_{n \rightarrow {} \infty } \sum_{k=1}^{n} {k/2^k}$
mais, je ne vois pas comment simplifier ça...
Merci d'avance

Posted by: murray

bonjour,
ton problème revient en fait à calculer somme(k*x^k) (avec x =1/2 dans ton cas).
cette série entière est la dérivée (à peu de chose près ) de la série
somme(x^k)

Tu écris alors:
somme(x^k)= 1/(1-x).

puis tu dérives des deux côtés, et tu retrouveras ton expression.

Posted by: Zebulon

Bonjour,
par ma méthode, je trouve E(X)=3. Murray, quel est votre résultat?

Posted by: murray

bonjour,
j'ai trouvé E(X)=2

Posted by: Zebulon

Voici comment j'ai fait :

Soit $\Large{E}(X)(x)=\sum_{k\ge0}{k\over{x^k}}$ et $\Large{S}(x)=\sum_{k\ge0}x^{-k+1}$ , alors par théorème de dérivation, $\Large{S}'(x)=(\sum_{k\ge0}x^{-k+1})'=\sum_{k\ge0}(x^{-k+1})'$ donc $\Large{S}'(x)=\sum_{k\ge0}(x^{-k+1})'=\sum_{k\ge0}(-k+1)x^{-k} \\=-\sum_{k\ge0}{k\over{x^k}}+\sum_{k\ge0}{1\over{x^k} } \\=-E(X)(x)+{x\over{x-1}}$
donc
$\Large{E}(X)(x)={x\over{x-1}}-S'(x)$ .
$\Large{S}'(x)=(\sum_{k\ge0}x^{-k+1})' \\=(\sum_{k\ge1}{1\over{x^k}})' \\=(\sum_{k\ge0}{1\over{x^k}}-1)' \\=({x\over{x-1}}-1)' \\=({1\over{x-1}})' \\=-{1\over{(x-1)^2}}$
donc
$\Large{E}(X)(x)={x\over{x-1}}+{1\over{(x-1)^2}}={{x^2-x+1}\over{(x-1)^2}}$
donc $\Large{E}(X)(2)=3$ .
J'ai quand même peut-être fait une petite erreur...

Posted by: murray

Ma méthode:

S(x)= sigma(x^k)= 1/(1-x)
S'(x)=sigma(kx^k-1)=1/(1-x)² (dérivation des 2 côtés)

et sigma(kx^k-1)=sigma((i+1)x^i)

D'ou sigma(i*x^i)= 1/(1-x)² -sigma(x^i)
sigma(i*x^i)= 1/(1-x)²- 1/(1-x)

on remplace ensuite x par 1/2

Posted by: Zebulon

Sans préciser les bornes vous commettez des erreurs.

Posted by: Zebulon

Oups! Ici c'est à partir de k=1, et moi j'ai fait à partir de k=0. C'est peut-être pour cela que nous n'avons pas les mêmes résultats. Je regarde.

Posted by: murray

cela revient au même puisque k=0 compte pour zéro dans le calcul de l'espérance

Posted by: Zebulon

Voilà la version corrigée et propre!
Soit $\Large{E}(X)(x)=\sum_{k\ge0}{k\over{x^k}}$ et $\Large{S}(x)=\sum_{k\ge0}x^{-k+1}$ , alors par théorème de dérivation, $\Large{S}'(x)=(\sum_{k\ge0}x^{-k+1})'=\sum_{k\ge0}(x^{-k+1})'$ donc $\Large{S}'(x)=\sum_{k\ge0}(x^{-k+1})'=\sum_{k\ge0}(-k+1)x^{-k} \\=-\sum_{k\ge0}{k\over{x^k}}+\sum_{k\ge0}{1\over{x^k} } \\=-\sum_{k\ge1}{k\over{x^k}}-1+\sum_{k\ge0}{1\over{x^k}} \\=-E(X)(x)+{x\over{x-1}}-1$
donc
$\Large{E}(X)(x)={x\over{x-1}}-S'(x)-1 \\=-S'(x)+{1\over{x-1}}$ .
$\Large{S}'(x)=(\sum_{k\ge0}x^{-k+1})' \\=(\sum_{k\ge1}{1\over{x^k}})' \\=(\sum_{k\ge0}{1\over{x^k}}-1)' \\=({x\over{x-1}}-1)' \\=({1\over{x-1}})' \\=-{1\over{(x-1)^2}}$
donc
$\Large{E}(X)(x)={1\over{x-1}}+{1\over{(x-1)^2}}$
donc $\Large{E}(X)(2)=2$ .
Voilà ce qui clochait!

Posted by: Touriste

Bonjour,

En fait, d'une façon générale, quand $P[X=k]$ est un puissance comme ici (c'est $(1/2)^k$ ), le plus simple est d'utiliser la fonction génératrice et ses dérivées. Plus précisément,
$G(s)=\sum_k P[X=k]s^k=\frac{s/2}{1-s/2}$ (facile à calculer puisque c'est une série géométrique).
Ensuite, $E[X]=G'(1)$ et $Var(X)=G''(1)+G'(1)-G'(1)^2$ . Je passe bien sûr ici toutes les justifications qui sont normalement dans les cours, mais on oublie souvent d'utiliser cette fonction génératrice...